Sejam tal que e uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe . Além disso mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência definida por , onde é um número real tal que . A matéria envolvida aqui é Progressão Geométrica e conceitos de sequências monótonas e limitadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências funcionam, o que significa ser monótona e limitada, e como encontrar o limite de uma sequência infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a sequência . Essa é a soma de uma progressão geométrica com razão . Sabemos que para uma progressão geométrica, a soma dos primeiros termos é dada por:
Essa fórmula vai nos ajudar a simplificar a sequência para analisar suas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é monótona. Uma sequência é monótona se ela for sempre crescente ou sempre decrescente. Para isso, vamos calcular a diferença entre um termo e o anterior:
Como , tende a zero quando aumenta. Além disso, se for positivo, também é positivo, o que significa que os termos estão aumentando. Portanto, a sequência é crescente. Se for negativo, a análise fica um pouco mais complicada, mas como , a contribuição de diminui, mantendo a sequência limitada.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se seus termos não saem de certos limites, ou seja, existe um número que é maior que todos os termos e outro que é menor que todos os termos. Olhando para a fórmula simplificada:
Como , tende a zero conforme cresce. Isso significa que está se aproximando de e nunca ultrapassa esse valor. Portanto, a sequência está limitada.

Passo 5

Como a sequência é monótona e limitada, podemos concluir pelo teorema das sequências monótonas que ela converge, ou seja, tem um limite quando tende ao infinito.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite da sequência :
Aqui, usamos o fato de que tende a zero porque .

Resposta

Portanto, o limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Mostre que não existe.
Determine se a sequência onde converge.
Seja é uma sequência periódica de números reais, isto é, existe um tal que para todo natural. Mostre que se é convergente então é constante.
Se , mostre que .