Sejam
tal que
e
uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que
é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe
. Além disso mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência definida por
, onde
é um número real tal que
. A matéria envolvida aqui é Progressão Geométrica e conceitos de sequências monótonas e limitadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências funcionam, o que significa ser monótona e limitada, e como encontrar o limite de uma sequência infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a sequência
. Essa é a soma de uma progressão geométrica com razão
. Sabemos que para uma progressão geométrica, a soma dos primeiros
termos é dada por:
Essa fórmula vai nos ajudar a simplificar a sequência para analisar suas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência
é monótona. Uma sequência é monótona se ela for sempre crescente ou sempre decrescente. Para isso, vamos calcular a diferença entre um termo e o anterior:
Como
,
tende a zero quando
aumenta. Além disso, se
for positivo,
também é positivo, o que significa que os termos estão aumentando. Portanto, a sequência é crescente. Se
for negativo, a análise fica um pouco mais complicada, mas como
, a contribuição de
diminui, mantendo a sequência limitada.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se seus termos não saem de certos limites, ou seja, existe um número que é maior que todos os termos e outro que é menor que todos os termos. Olhando para a fórmula simplificada:
Como
,
tende a zero conforme
cresce. Isso significa que
está se aproximando de
e nunca ultrapassa esse valor. Portanto, a sequência está limitada.
Passo 5
Como a sequência
é monótona e limitada, podemos concluir pelo teorema das sequências monótonas que ela converge, ou seja, tem um limite quando
tende ao infinito.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o limite da sequência
:
Aqui, usamos o fato de que
tende a zero porque
.
Resposta
Portanto, o limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
não existe.
Determine se a sequência
onde
converge.
Seja
é uma sequência periódica de números reais, isto é, existe um
tal que
para todo
natural. Mostre que se
é convergente então
é constante.
Se
, mostre que
.