Seja
é uma sequência periódica de números reais, isto é, existe um
tal que
para todo
natural. Mostre que se
é convergente então
é constante.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência periódica de números reais, ou seja, existe um período
tal que
para todo número natural
. A matéria envolvida aqui é sobre sequências periódicas e sequências convergentes. Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa que uma sequência é periódica e o que é uma sequência convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência periódica. Uma sequência
é dita periódica com período
se, após cada
termos, a sequência se repete. Matematicamente, isso significa que
para todo
. Por exemplo, se
, então
e
Passo 3
Agora, uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um certo valor
à medida que
cresce. Formalmente, dizemos que
converge para
se, para todo
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 4
Como a sequência
é periódica com período
, os termos
,
,
, etc., são todos iguais, ou seja,
.
Passo 5
Mas se a sequência converge para
, então todos esses termos iguais também devem convergir para
. Ou seja,
.
Passo 6
Isso significa que todos os termos da sequência a partir de algum ponto são iguais a
. Como a sequência é periódica, essa igualdade se repete indefinidamente para todos os termos. Portanto, a sequência inteira é constante, ou seja,
para todo
.
Resposta
A sequência
é constante, ou seja,
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam
tal que
e
uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que
é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe
. Além disso mostre que
Mostre que
não existe.
Se
, mostre que
.
Mostre que o produto de três inteiros consecutivos é sempre divisível por 6.