Seja (x_n) n pertence a N é uma sequência periódica de números reais, isto é, existe um p em N tal que x_{n+p} = x_{n} para todo n natural. Mostre que se (x_n) n pertence a N é convergente então (x_n) n pertence a N é constante.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência periódica de números reais, ou seja, existe um período p tal que para todo número natural n. A matéria envolvida aqui é sobre sequências periódicas e sequências convergentes. Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa que uma sequência é periódica e o que é uma sequência convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência periódica. Uma sequência é dita periódica com período p se, após cada p termos, a sequência se repete. Matematicamente, isso significa que para todo n in N. Por exemplo, se p = 2, então e

Passo 3

Agora, uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um certo valor L à medida que n cresce. Formalmente, dizemos que converge para L se, para todo , existe um N tal que para todo , .

Passo 4

Como a sequência é periódica com período p, os termos , , , etc., são todos iguais, ou seja, .

Passo 5

Mas se a sequência converge para L, então todos esses termos iguais também devem convergir para L. Ou seja, .

Passo 6

Isso significa que todos os termos da sequência a partir de algum ponto são iguais a L. Como a sequência é periódica, essa igualdade se repete indefinidamente para todos os termos. Portanto, a sequência inteira é constante, ou seja, para todo n in N.

Resposta

A sequência é constante, ou seja, para todo n in N.

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