Se , prove que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números positivos, e , onde . A tarefa é provar que, se elevamos esses números à mesma potência (onde é um número natural, tipo 1, 2, 3, e assim por diante), teremos .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar dois números positivos sempre dá um resultado maior. Por exemplo, se e ambos são positivos, então multiplicar por qualquer número positivo menor que 1 vai diminuir , e multiplicar por um número maior que 1 vai aumentar .

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de potência. significa multiplicar por ele mesmo vezes. Como , cada vez que multiplicamos por ele mesmo, o resultado cresce, mas sempre fica menor do que se fizéssemos o mesmo com .

Passo 4

Vamos fazer um exemplo simples para ficar mais claro. Suponha que , e :

  • Aqui, claramente .

Passo 5

Agora, generalizando para qualquer . Se sabemos que , então multiplicar ambos por e sucessivamente mantém a desigualdade porque estamos sempre adicionando uma quantidade maior ao multiplicar , já que .

Passo 6

Por indução matemática, podemos assumir que se para algum , então . Como já vimos que vale para , isso confirma que vale para todos os .

Resposta

Portanto, se , então para todo .

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