Se
, prove que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números positivos,
e
, onde
. A tarefa é provar que, se elevamos esses números à mesma potência
(onde
é um número natural, tipo 1, 2, 3, e assim por diante), teremos
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar dois números positivos sempre dá um resultado maior. Por exemplo, se
e ambos são positivos, então multiplicar
por qualquer número positivo menor que 1 vai diminuir
, e multiplicar por um número maior que 1 vai aumentar
.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição de potência.
significa multiplicar
por ele mesmo
vezes. Como
, cada vez que multiplicamos
por ele mesmo, o resultado cresce, mas sempre fica menor do que se fizéssemos o mesmo com
.
Passo 4
Vamos fazer um exemplo simples para ficar mais claro. Suponha que
,
e
:
-
-
Aqui, claramente.
Passo 5
Agora, generalizando para qualquer
. Se sabemos que
, então multiplicar ambos por
e
sucessivamente mantém a desigualdade porque estamos sempre adicionando uma quantidade maior ao multiplicar
, já que
.
Passo 6
Por indução matemática, podemos assumir que se
para algum
, então
. Como já vimos que vale para
, isso confirma que vale para todos os
.
Resposta
Portanto, se
, então
para todo
.
Exercícios relacionados
Encontre o limite da sequência
onde
.
Mostre que a sequência
definida por
converge e encontre o seu limite.
Dados dois números reais
e
, se
, então
.
Encontre o limite da sequência
onde
.