Mostre que a sequência
definida por
converge e encontre o seu limite.
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência definida por
. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela tem um limite quando
fica bem grande, e também descobrir qual é esse limite. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, conforme os termos vão aumentando (quando
vai para o infinito), os valores da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico, que chamamos de limite.
Passo 3
Para encontrar o limite de
, vamos manipular essa expressão para facilitar o cálculo. Uma técnica útil é multiplicar e dividir pela soma das raízes, isso ajuda a eliminar as raízes no numerador.
Passo 4
Vamos multiplicar e dividir por
:
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados.
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar o denominador
. Quando
fica muito grande,
e
são aproximadamente iguais a
. Então, o denominador se aproxima de
.
Passo 7
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Agora, queremos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito.
Passo 8
O limite de
quando
é 0, porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que a fração fique cada vez menor.
Resposta
Portanto, a sequência
converge e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Encontre uma fórmula fechada para a sequência
definida por
.
Mostre que a sequência
definida por
converge para zero.
Encontre o limite da sequência
onde
.
Se
, prove que
, para todo
.