Mostre que a sequência definida por converge e encontre o seu limite.

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência definida por . O objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela tem um limite quando fica bem grande, e também descobrir qual é esse limite. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, conforme os termos vão aumentando (quando vai para o infinito), os valores da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico, que chamamos de limite.

Passo 3

Para encontrar o limite de , vamos manipular essa expressão para facilitar o cálculo. Uma técnica útil é multiplicar e dividir pela soma das raízes, isso ajuda a eliminar as raízes no numerador.

Passo 4

Vamos multiplicar e dividir por :
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados.

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar o denominador . Quando fica muito grande, e são aproximadamente iguais a . Então, o denominador se aproxima de .

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão de :
Agora, queremos ver o que acontece com quando tende ao infinito.

Passo 8

O limite de quando é 0, porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que a fração fique cada vez menor.

Resposta

Portanto, a sequência converge e o seu limite é 0.

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Se , prove que , para todo .