Dados dois números reais
e
, se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que, se tivermos dois números reais
e
onde
, então a média deles, que é
, fica entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e médias. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Isso significa que
é maior que
. Agora, vamos calcular a média de
e
:
Essa expressão simplesmente soma
e
e divide por 2, dando a média dos dois números.
Passo 3
Queremos provar que
. Para isso, vamos começar com
e manipular a desigualdade.
Somando
em ambos os lados da desigualdade:
Simplificando:
Agora, dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que a média
é maior que
.
Passo 4
Agora, vamos provar que
. Começamos novamente com
.
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Adicionando
aos dois lados:
Mas já mostramos isso antes. Para chegar em
, somamos
e
e dividimos por 2 novamente, seguindo um raciocínio similar:
Multiplicando ambos os lados da inequação original
por 2:
Adicionando
a ambos os lados:
Dividindo por 2:
Resposta
Então, concluímos que se
, então
.
Exercícios relacionados
Se
, prove que
, para todo
.
Encontre o limite da sequência
onde
.
Encontre o limite da sequência
onde
.
Considere a sequência
onde
. Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.