Dados dois números reais e , se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que, se tivermos dois números reais e onde , então a média deles, que é , fica entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e médias. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que é maior que . Agora, vamos calcular a média de e :
Essa expressão simplesmente soma e e divide por 2, dando a média dos dois números.

Passo 3

Queremos provar que . Para isso, vamos começar com e manipular a desigualdade.
Somando em ambos os lados da desigualdade:
Simplificando:
Agora, dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que a média é maior que .

Passo 4

Agora, vamos provar que . Começamos novamente com .
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Adicionando aos dois lados:
Mas já mostramos isso antes. Para chegar em , somamos e e dividimos por 2 novamente, seguindo um raciocínio similar:
Multiplicando ambos os lados da inequação original por 2:
Adicionando a ambos os lados:
Dividindo por 2:

Resposta

Então, concluímos que se , então .

Exercícios relacionados

Se , prove que , para todo .
Encontre o limite da sequência onde .
Encontre o limite da sequência onde .
Considere a sequência onde . Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.