Encontre o limite da sequência onde .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o limite da sequência . Esse exercício está relacionado ao estudo de sequências e seus limites, que fazem parte da Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender como manipular potências e utilizar propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência dada: . Queremos descobrir o que acontece com quando se torna muito grande, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural nas duas partes da sequência. O logaritmo ajuda a transformar a potência em um produto, o que simplifica a análise:

Passo 4

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos utilizar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos formas indeterminadas como .

Passo 6

Reescrevemos a expressão para aplicar a regra de L’Hôpital:
Agora, temos uma forma , que permite o uso da regra de L’Hôpital. Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a .

Passo 7

Calculamos as derivadas:

Passo 8

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Simplificando a fração:

Passo 9

Então, concluímos que:
Para encontrar o limite de , usamos a propriedade inversa do logaritmo:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

Exercícios relacionados

Dados dois números reais e , se , então .
Se , prove que , para todo .
Considere a sequência onde . Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Considere a sequência definida por . Mostre que ela é crescente e limitada.