Encontre o limite da sequência
onde
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o limite da sequência
. Esse exercício está relacionado ao estudo de sequências e seus limites, que fazem parte da Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender como manipular potências e utilizar propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência dada:
. Queremos descobrir o que acontece com
quando
se torna muito grande, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural nas duas partes da sequência. O logaritmo ajuda a transformar a potência em um produto, o que simplifica a análise:
Passo 4
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos utilizar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 6
Reescrevemos a expressão para aplicar a regra de L’Hôpital:
Agora, temos uma forma
, que permite o uso da regra de L’Hôpital. Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
Passo 7
Calculamos as derivadas:
Passo 8
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Simplificando a fração:
Passo 9
Então, concluímos que:
Para encontrar o limite de
, usamos a propriedade inversa do logaritmo:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Dados dois números reais
e
, se
, então
.
Se
, prove que
, para todo
.
Considere a sequência
onde
. Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Considere a sequência
definida por
. Mostre que ela é crescente e limitada.