Se 0 < c < 1, mostre que 0 < c^2 < c < 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se temos um número que está entre 0 e 1 (ou seja, ), então também está entre 0 e 1, e além disso, é menor que . Vamos usar propriedades básicas de números reais e multiplicação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é maior que 0. Sabemos que é positivo porque . Quando multiplicamos dois números positivos, o resultado também é positivo. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar que é menor que . Como está entre 0 e 1, multiplicar por ele mesmo resultará em um número menor. Isso acontece porque qualquer número menor que 1, quando multiplicado por ele mesmo, diminui o valor. Então:

Passo 4

Finalmente, já sabemos que é menor que 1, conforme dado no enunciado:

Resposta

Portanto, se , então .

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