Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos dois números, e , que pertencem a um corpo ordenado , e o não é igual a zero. A gente precisa provar que o valor absoluto de multiplicado pelo inverso de é igual ao valor absoluto de vezes o inverso do valor absoluto de . Em forma de equação, isso fica:
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas de valores absolutos e das operações em corpos ordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma propriedade fundamental dos valores absolutos quando a gente está lidando com multiplicação. Se a gente tem dois números quaisquer e , então:
Isso significa que o valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos. Vamos aplicar isso na nossa situação.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde e , temos:
Então, já conseguimos simplificar um pouco a expressão original usando a propriedade dos valores absolutos.
Passo 4
Agora, precisamos entender o que é . O inverso de , que é , é simplesmente . O valor absoluto do inverso de pode ser expresso como o inverso do valor absoluto de :
Isso é válido porque , então também não é zero.
Passo 5
Substituindo na nossa equação anterior, fica:
E assim, chegamos exatamente à expressão que precisávamos provar.