Considerando o corpo ordenado dos reais, determine delta_1 e delta_2 tais que
|x - raiz(2)| < delta1 e |y - raiz(3)| < delta2 => |xy - raiz(2) * raiz(3)| < epsilon
para epsilon > 0 dado. Sugestão: utilize o item (b) do exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e no conjunto dos números reais ordenados. O objetivo é garantir que, se estiver a menos de de e estiver a menos de de , então o produto estará a menos de de . Para isso, vamos usar conceitos de limite e desigualdades, além de alguma manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos: queremos que seja menor que . Vamos quebrar essa expressão de uma forma que possamos manipular:
Aqui, utilizamos a propriedade distributiva para separar os termos. Agora, aplicando a desigualdade triangular, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar limites para e . Sabemos que e . Vamos supor que , assim:
Portanto, .

Passo 4

Voltando à desigualdade que obtivemos:
Queremos que isso seja menor que . Para garantir isso, podemos definir e de forma que cada termo seja menor que metade de :

Passo 5

Resolvendo para e :
Além disso, para manter e pequenos o suficiente para as suposições que fizemos, podemos escolher:

Resposta

Para garantir que , podemos escolher:

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