Considerando o corpo ordenado dos reais, determine
e
tais que
para
dado. Sugestão: utilize o item (b) do exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
no conjunto dos números reais ordenados. O objetivo é garantir que, se
estiver a menos de
de
e
estiver a menos de
de
, então o produto
estará a menos de
de
. Para isso, vamos usar conceitos de limite e desigualdades, além de alguma manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos: queremos que
seja menor que
. Vamos quebrar essa expressão de uma forma que possamos manipular:
Aqui, utilizamos a propriedade distributiva para separar os termos. Agora, aplicando a desigualdade triangular, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar limites para
e
. Sabemos que
e
. Vamos supor que
, assim:
Portanto,
.
Passo 4
Voltando à desigualdade que obtivemos:
Queremos que isso seja menor que
. Para garantir isso, podemos definir
e
de forma que cada termo seja menor que metade de
:
Passo 5
Resolvendo para
e
:
Além disso, para manter
e
pequenos o suficiente para as suposições que fizemos, podemos escolher:
Resposta
Para garantir que
, podemos escolher: