Prove que se A é denso em B e C ⊆ B, então A é denso em C.

Passo 1

Neste exercício, vamos provar que se o conjunto é denso em e é um subconjunto de ( ), então também é denso em . Vamos utilizar conceitos de topologia, especificamente a definição de densidade de um conjunto em outro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um conjunto ser denso em outro. Dizemos que é denso em se a aderência de em for igual a , ou seja:
Isso quer dizer que todo ponto de é ou está em ou é um ponto de acumulação de .

Passo 3

Queremos mostrar que é denso em , o que significa que:
Como é um subconjunto de ( ) e sabemos que é denso em , cada ponto de também pertence à aderência de .

Passo 4

Isso ocorre porque a aderência de em cobre todo , então qualquer subconjunto de terá sua aderência também coberta por . Portanto, a aderência de em será igual a :

Resposta

Portanto, se é denso em e , então é denso em .

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