(2.0pt) Calcule , onde é a região limitada pelas retas e o eixo . Faça um esboço da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pelas retas , e o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar ou esboçar a região . A reta é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus. A reta é uma linha vertical no ponto . E o eixo é simplesmente a horizontal onde . Então, a região é um triângulo limitado por essas três retas.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração. Vamos integrar em relação a primeiro e depois a . Observando a região , para um valor fixo de entre e , varia de até . Então, nossos limites de integração são:
vai de a .
Para cada , vai de a .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, fazemos uma substituição u = x + y, então . Quando , , e quando , . A integral se torna:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: