(2.0pt) Calcule integral duplaR cos (x+y) d A, onde R é a região limitada pelas retas y=x, x=pi e o eixo x. Faça um esboço da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de cos(x+y) sobre a região R, que é limitada pelas retas y = x, x = pi e o eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar ou esboçar a região R. A reta y = x é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus. A reta x = pi é uma linha vertical no ponto x = pi. E o eixo x é simplesmente a horizontal onde y = 0. Então, a região R é um triângulo limitado por essas três retas.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Vamos integrar em relação a y primeiro e depois a x. Observando a região R, para um valor fixo de x entre 0 e pi, y varia de 0 até y = x. Então, nossos limites de integração são:
  • x vai de 0 a pi.
  • Para cada x, y vai de 0 a x.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla:
integral duplaR cos(x+y) , dA = integral0^pi integral0^x cos(x+y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^x cos(x+y) , dy
Aqui, fazemos uma substituição u = x + y, então du = dy. Quando y = 0, u = x, e quando y = x, u = 2x. A integral se torna:
integralx^2x cos(u) , du = sin(u) gr|x^2x = sin(2x) - sin(x)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi (sin(2x) - sin(x)) , dx
Vamos separar as duas integrais:
integral0^pi sin(2x) , dx - integral0^pi sin(x) , dx

Passo 7

Resolvendo cada integral:
  • Para integral sin(2x) , dx, fazemos uma substituição u = 2x, então du = 2dx e a integral se torna -12 cos(2x).
  • Para integral sin(x) , dx, a antiderivada é -cos(x).
Então, avaliando de 0 a pi:
[-12 cos(2x)]0^pi - [-cos(x)]0^pi

Passo 8

Calculando os valores:
  • Para a primeira parte:
-12 cos(2pi) + 12 cos(0) = -12(1) + 12(1) = 0
  • Para a segunda parte:
-cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2

Passo 9

Somando as duas partes:
0 - 2 = -2

Resposta

A integral dupla integral duplaR cos(x+y) , dA vale -2.

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