(2.0pt) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Para
:
Então,
ou
.
Para
:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana
é dado por:
Passo 5
Vamos analisar cada ponto crítico:
- Ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
- Ponto
:
Assim como o anterior,
e
, então esse ponto também é um mínimo local.
Resposta
A função
tem mínimos locais em
e
, e um ponto de sela em
.