(2.0pt) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = 2 x^4 + y^2 - x^2 - 2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Para :
Então, ou .
Para :
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 5

Vamos analisar cada ponto crítico:
  1. Ponto :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto :
Como e , esse ponto é um mínimo local.
  1. Ponto :
Assim como o anterior, e , então esse ponto também é um mínimo local.

Resposta

A função tem mínimos locais em e , e um ponto de sela em .

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