(2.0pt) Mostre que a função f(x, y)=e^x sin y+e^y cos x, satisfaz a equação de Laplace
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa verificar se a função partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace:
Isso envolve calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e somá-las para ver se o resultado é zero. A equação de Laplace é fundamental em várias áreas da matemática e física, como em problemas de potencial elétrico e fluxo de fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( e^x sin y + e^y cos x ) em relação a partial fpartial x = e^x sin y - e^y sin x , ou seja, partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( e^x sin y - e^y sin x ) .
Começamos encontrando a primeira derivada de partial^2 fpartial x^2 = e^x sin y - e^y cos x em relação a :
Derivando termo a termo:
Agora, derivamos novamente em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( e^x sin y + e^y cos x ) em relação a partial fpartial y = e^x cos y + e^y cos x , ou seja, partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( e^x cos y + e^y cos x ) .
Primeiro, encontramos a primeira derivada de partial^2 fpartial y^2 = -e^x sin y + e^y cos x em relação a :
Derivando termo a termo:
Agora, derivamos novamente em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Com as segundas derivadas parciais calculadas, vamos somá-las para verificar a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = ( e^x sin y - e^y cos x ) + ( -e^x sin y + e^y cos x )
Simplificando os termos:
e^x sin y - e^y cos x - e^x sin y + e^y cos x = 0

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é igual a zero:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0
Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace.

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