(2.0pt) Mostre que a função
, satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace:
Isso envolve calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e somá-las para ver se o resultado é zero. A equação de Laplace é fundamental em várias áreas da matemática e física, como em problemas de potencial elétrico e fluxo de fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começamos encontrando a primeira derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Com as segundas derivadas parciais calculadas, vamos somá-las para verificar a equação de Laplace:
Simplificando os termos:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais é igual a zero:
Portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace.