QUESTÃO Prove que se A é enumerável e B é finito, então A ∪ B também é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se é enumerável e é finito, então a união também é enumerável. Aqui estamos lidando com conceitos de conjuntos contáveis na matemática, especificamente trabalhando com conjuntos enumeráveis e finitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar os elementos de e de uma forma que possamos listá-los sem esquecer nenhum.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma sequência, ou seja, se existe uma função bijetora entre o conjunto e os números naturais . Então, já que é enumerável, podemos listar seus elementos como .

Passo 3

Agora, é um conjunto finito. Vamos supor que tenha elementos, onde é um número natural. Podemos listar os elementos de como .

Passo 4

Nosso objetivo é listar todos os elementos de de forma que possamos colocá-los em uma sequência infinita. Para isso, podemos começar listando os primeiros elementos de e, em seguida, continuar com os elementos de . Assim, teremos uma lista que começa com e depois segue com .

Passo 5

Mas precisamos garantir que essa lista não tenha repetições, caso algum elemento de já esteja em . Se houver elementos comuns, podemos simplesmente ignorá-los na listagem de , já que eles já apareceram na parte inicial da lista.

Passo 6

Dessa forma, conseguimos construir uma sequência completa que inclui todos os elementos de sem esquecer nenhum e sem repetições. Essa sequência mostra que pode ser enumerado, ou seja, que é enumerável.

Resposta

Portanto, provamos que se é enumerável e é finito, então também é enumerável.

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