QUESTÃO Prove que se
é enumerável e
é finito, então
também é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se
é enumerável e
é finito, então a união
também é enumerável. Aqui estamos lidando com conceitos de conjuntos contáveis na matemática, especificamente trabalhando com conjuntos enumeráveis e finitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar os elementos de
e
de uma forma que possamos listá-los sem esquecer nenhum.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma sequência, ou seja, se existe uma função bijetora entre o conjunto e os números naturais
. Então, já que
é enumerável, podemos listar seus elementos como
.
Passo 3
Agora,
é um conjunto finito. Vamos supor que
tenha
elementos, onde
é um número natural. Podemos listar os elementos de
como
.
Passo 4
Nosso objetivo é listar todos os elementos de
de forma que possamos colocá-los em uma sequência infinita. Para isso, podemos começar listando os primeiros
elementos de
e, em seguida, continuar com os elementos de
. Assim, teremos uma lista que começa com
e depois segue com
.
Passo 5
Mas precisamos garantir que essa lista não tenha repetições, caso algum elemento de
já esteja em
. Se houver elementos comuns, podemos simplesmente ignorá-los na listagem de
, já que eles já apareceram na parte inicial da lista.
Passo 6
Dessa forma, conseguimos construir uma sequência completa que inclui todos os elementos de
sem esquecer nenhum e sem repetições. Essa sequência mostra que
pode ser enumerado, ou seja, que
é enumerável.
Resposta
Portanto, provamos que se
é enumerável e
é finito, então
também é enumerável.