(2.0pt) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e
. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies:
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Entender coordenadas polares.
- Saber como configurar uma integral dupla para calcular volume.
- Conhecer um pouco sobre superfícies parabólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A equação
representa um paraboloide voltado para baixo, e
é um paraboloide voltado para cima. O sólido que queremos é a região onde esses dois paraboloides se intersectam.
Passo 3
Para encontrar a região de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
e
, temos:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo de raio
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral usando coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área é
.
O volume
será a integral da diferença das funções
das duas superfícies sobre a região circular de interseção:
Aqui,
é a superfície de cima e
é a de baixo.
Passo 5
Vamos simplificar a integrand:
Então, a integral fica:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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(2.0pt) Calcule
, onde
é a região limitada pelas retas
e o eixo
. Faça um esboço da região.
<html><head></head><body><div>(2.0pt) Mostre que a função <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.096ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 11534.3 1000”><title>f(x, y) = e^x sen(y) + e^y cos(x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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