(2.0pt) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e
. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies:
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Entender coordenadas polares.
- Saber como configurar uma integral dupla para calcular volume.
- Conhecer um pouco sobre superfícies parabólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A equação
representa um paraboloide voltado para baixo, e
é um paraboloide voltado para cima. O sólido que queremos é a região onde esses dois paraboloides se intersectam.
Passo 3
Para encontrar a região de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
e
, temos:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo de raio
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral usando coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área é
.
O volume
será a integral da diferença das funções
das duas superfícies sobre a região circular de interseção:
Aqui,
é a superfície de cima e
é a de baixo.
Passo 5
Vamos simplificar a integrand:
Então, a integral fica:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.