(2.0pt) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 9 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: e . Para isso, vamos usar coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Entender coordenadas polares.
  • Saber como configurar uma integral dupla para calcular volume.
  • Conhecer um pouco sobre superfícies parabólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A equação representa um paraboloide voltado para baixo, e é um paraboloide voltado para cima. O sólido que queremos é a região onde esses dois paraboloides se intersectam.

Passo 3

Para encontrar a região de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para e , temos:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo de raio no plano .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral usando coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área é .
O volume será a integral da diferença das funções das duas superfícies sobre a região circular de interseção:
Aqui, é a superfície de cima e é a de baixo.

Passo 5

Vamos simplificar a integrand:
Então, a integral fica:

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Calculando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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