(2.0pt) Utilizando os 5 passos dados em aula esboce o gráfico da seguinte função
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente esboçar o gráfico da função
usando os 5 passos que vimos em aula. Isso faz parte da Geometria Analítica, onde a gente aprende a representar graficamente funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como funções quadráticas se comportam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície essa função representa. A função
é uma função quadrática em duas variáveis, o que geralmente forma um paraboloide. Como os coeficientes de
e
são positivos, sabemos que é um paraboloide elíptico que abre para cima.
Passo 3
Agora, vamos analisar os coeficientes das variáveis. O termo
tem um coeficiente maior que 1, o que significa que, na direção do eixo x, a curva é mais “fechada” ou estreita. Já o termo
tem coeficiente 1, indicando uma curvatura menos acentuada na direção do eixo y. Isso vai afetar como o paraboloide se estende no espaço.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o ponto de mínimo da função. Como todos os termos são quadráticos e positivos, o mínimo ocorre na origem, quando
e
. Portanto, o ponto mais baixo do paraboloide está em (0, 0, 0).
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico. Podemos fazer isso traçando algumas seções da superfície:
- Para
: , que é uma parábola no plano y-z. - Para
: , que é uma parábola mais estreita no plano x-z. - Para
, onde é uma constante: é uma elipse no plano x-y.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide elíptico que abre para cima. Ele tem uma curvatura mais acentuada na direção do eixo x devido ao coeficiente 4, e uma curvatura menos intensa na direção do eixo y. O ponto mínimo da superfície está na origem (0, 0, 0), e a superfície se expande simetricamente a partir desse ponto, formando uma forma parecida com uma tigela.