(2.0pt) Utilizando os 5 passos dados em aula esboce o gráfico da seguinte função h(x, y) = 4 x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente esboçar o gráfico da função usando os 5 passos que vimos em aula. Isso faz parte da Geometria Analítica, onde a gente aprende a representar graficamente funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como funções quadráticas se comportam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície essa função representa. A função é uma função quadrática em duas variáveis, o que geralmente forma um paraboloide. Como os coeficientes de e são positivos, sabemos que é um paraboloide elíptico que abre para cima.

Passo 3

Agora, vamos analisar os coeficientes das variáveis. O termo tem um coeficiente maior que 1, o que significa que, na direção do eixo x, a curva é mais “fechada” ou estreita. Já o termo tem coeficiente 1, indicando uma curvatura menos acentuada na direção do eixo y. Isso vai afetar como o paraboloide se estende no espaço.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o ponto de mínimo da função. Como todos os termos são quadráticos e positivos, o mínimo ocorre na origem, quando e . Portanto, o ponto mais baixo do paraboloide está em (0, 0, 0).

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Podemos fazer isso traçando algumas seções da superfície:
  • Para : , que é uma parábola no plano y-z.
  • Para : , que é uma parábola mais estreita no plano x-z.
  • Para , onde é uma constante: é uma elipse no plano x-y.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide elíptico que abre para cima. Ele tem uma curvatura mais acentuada na direção do eixo x devido ao coeficiente 4, e uma curvatura menos intensa na direção do eixo y. O ponto mínimo da superfície está na origem (0, 0, 0), e a superfície se expande simetricamente a partir desse ponto, formando uma forma parecida com uma tigela.

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