Seja z=z(x, y) uma função definida pela equação x+y+z+e^z=0. Calcule a derivada parcial partial zpartial x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial da função , definida pela equação . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a técnica de diferenciação implícita, já que está definida de forma implícita na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre que, ao derivar em relação a , é considerado uma constante.

Passo 3

Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é 0, já que é constante.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).

Passo 4

Colocando tudo junto, a derivada da equação original fica:
1 + 0 + partial zpartial x + e^z cdot partial zpartial x = 0
Isso simplifica para:
(1 + e^z) cdot partial zpartial x = -1

Passo 5

Agora, vamos isolar partial zpartial x = -11 + e^z :

Resposta

A derivada parcial é .

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