[1, 0] Escreva a integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno no eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente escreva a integral que calcula a área da superfície de um sólido gerado quando a curva é rodada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfície de um sólido de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para a área da superfície de um sólido obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo . A fórmula geral é:

Passo 3

Vamos entender cada parte dessa fórmula:
  • representa a circunferência de um pequeno elemento da curva a uma altura .
  • é um fator que ajusta o comprimento do arco da curva para considerar a inclinação da curva em cada ponto.
  • A integral de até soma todas essas pequenas áreas infinitesimais ao longo do intervalo considerado.

Passo 4

Então, para escrever a integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo , basta aplicar a fórmula mencionada, onde e são os limites do intervalo em que a curva está definida.

Resposta

A integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo é:

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