Escreva a integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno no eixo .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente escreva a integral que calcula a área da superfície de um sólido gerado quando a curva é rodada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfície de um sólido de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para a área da superfície de um sólido obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo . A fórmula geral é:
Passo 3
Vamos entender cada parte dessa fórmula:
representa a circunferência de um pequeno elemento da curva a uma altura .
é um fator que ajusta o comprimento do arco da curva para considerar a inclinação da curva em cada ponto.
A integral de até soma todas essas pequenas áreas infinitesimais ao longo do intervalo considerado.
Passo 4
Então, para escrever a integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo , basta aplicar a fórmula mencionada, onde e são os limites do intervalo em que a curva está definida.
Resposta
A integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo é: