Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 da solução geral da equação diferencial dada.
(x^2 + 4) y'' + y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada:
Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais quando não conseguimos encontrar uma solução exata facilmente. Vamos seguir passo a passo para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser representada por uma série de potências em torno de . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a segunda derivada de em relação a . Vamos derivar termo a termo:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos multiplicar pela série :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham :
Para a segunda soma, fazemos :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
Simplificando os termos dentro da soma:

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Isso nos dá a relação de recorrência:
á

Passo 9

Vamos agora determinar os coeficientes usando a relação de recorrência. Começamos definindo e como constantes livres (já que a solução é geral):
Para :
Para :

Passo 10

Continuando para :
Para :

Passo 11

Agora, temos os primeiros coeficientes em termos de e :

Passo 12

Portanto, a série de potências para a solução geral até os primeiros quatro termos não nulos é:

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são:

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