Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada:
Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais quando não conseguimos encontrar uma solução exata facilmente. Vamos seguir passo a passo para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser representada por uma série de potências em torno de . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a segunda derivada de em relação a . Vamos derivar termo a termo:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos multiplicar pela série :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham :
Para a segunda soma, fazemos :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
Simplificando os termos dentro da soma:

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Isso nos dá a relação de recorrência:
á

Passo 9

Vamos agora determinar os coeficientes usando a relação de recorrência. Começamos definindo e como constantes livres (já que a solução é geral):
Para :
Para :

Passo 10

Continuando para :
Para :

Passo 11

Agora, temos os primeiros coeficientes em termos de e :

Passo 12

Portanto, a série de potências para a solução geral até os primeiros quatro termos não nulos é:

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são:

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(I)
(m)
(n)
(0)
§
(q)
®
(s)
(t)
(u)
(v)
(w)
(t)
(x)
(y)
(z)
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.
(b) ( ) não existe.
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(d) ( ) A função é descontínua no ponto .
(e) ( ) O limite .
Escreva a integral que dá a área da superfície do sólido gerado pela rotação da curva em torno no eixo .
Determine uma equação da assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função .
(a)
(b)