Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada:
Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais quando não conseguimos encontrar uma solução exata facilmente. Vamos seguir passo a passo para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser representada por uma série de potências em torno de . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de em relação a . Vamos derivar termo a termo:
Passo 4
Substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos multiplicar pela série :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham :
Para a segunda soma, fazemos :
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
Simplificando os termos dentro da soma:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 9
Vamos agora determinar os coeficientes usando a relação de recorrência. Começamos definindo e como constantes livres (já que a solução é geral):
Para :
Para :
Passo 10
Continuando para :
Para :
Passo 11
Agora, temos os primeiros coeficientes em termos de e :
Passo 12
Portanto, a série de potências para a solução geral até os primeiros quatro termos não nulos é:
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são: