Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas que tomaram conhecimento e dado por
N(t)=6001+24 e^-0,5 t
em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-se
(a) Quantas pessoas souberam a noticia de imediato?
(b) Determine lim t +infty N(t) e explique o seu resultado.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função que mostra quantas pessoas souberam de uma notícia ao longo do tempo. O problema é dividido em duas partes:
(a) Descobrir quantas pessoas souberam da notícia imediatamente (ou seja, no dia 0).
(b) Encontrar o limite da função quando o tempo vai para o infinito e entender o que isso significa.
Vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos responder a parte (a). Queremos saber quantas pessoas souberam da notícia no momento em que ela surgiu, ou seja, quando N(t) = 6001 + 24 e^-0,5 t .
A função dada é:
N(0) = 6001 + 24 e^-0,5 times 0 = 6001 + 24 times 1 = 60025 = 24
Substituindo na função:
Então, 24 pessoas souberam da notícia imediatamente.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o limite de N(t) = 6001 + 24 e^-0,5 t quando limt +infty N(t) = 6001 + 24 times 0 = 6001 = 600 tende a mais infinito, ou seja, .
Olha só a função de novo:
Quando cresce muito, tende a 0 porque estamos exponenciando um número negativo que aumenta indefinidamente. Então, a expressão fica:
Isso significa que, no longo prazo, 600 pessoas terão tomado conhecimento da notícia.

Resposta

(a) 24 pessoas souberam da notícia de imediato.
(b) O limite de quando tende a mais infinito é 600 pessoas, indicando que eventualmente 600 pessoas terão conhecimento da notícia.

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