Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
lim x 2 5 x-4|x-2|
(h)
lim c 1 c^3-1|c-1|
(i)
lim x 1^+ 11-x-11-x^3
(j)
lim x +infty 2 x^2-4 x-2518 x^3-9 x^2
(k)
lim n +infty sen(2+n-pi n^212 n-4 n^2)
(I)
lim x +infty x(raizx^2+1-x)
(m)
lim x +infty(2 x^5+4 x^2-3)
(n)
lim w -infty(4 w^3-2 w^2+w-5)
(0)
lim x +infty 11+2^1 / x
§
lim x infty x^2-5 x+13 x+7
(q)
lim b infty b(b^3+10)^1 / 3
®
lim x 1 11-x-31-x^3
(s)
lim x infty raizx+2-raizx
(t)
lim x 2 4x^2-4
(u)
lim x infty 3 x^4-7 x^3+5
(v)
lim theta -infty 3 theta^2-2 theta+12 theta-1
(w)
lim x -infty-2 x^3+x^2+3 x
(t)
lim x -infty raiz2 x^2+34 x+2
(x)
lim x infty raizx^2-5 x6-x
(y)
lim d 0^+ d^2-1d
(z)
lim x 1^+ x^1+1x^2-4 x+3
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(I)
(m)
(n)
(0)
§
(q)
®
(s)
(t)
(u)
(v)
(w)
(t)
(x)
(y)
(z)
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver o limite da letra (a) juntos. A questão pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento do seno próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
).
-
Numerador (
): Quando tende a 0, também tende a 0. Então, fica próxima de 1. -
Denominador (
): Sabemos que, para valores de próximos a 0, é aproximadamente igual a . Isso vem da aproximação linear da função seno.
Passo 3
Vamos usar a propriedade que, quando
x^2 + 1sen x approx x^2 + 1x é pequeno,
. Substituindo essa aproximação no denominador, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 5
Vamos analisar cada termo separadamente quando
tende a
:
-
: Quando vai para 0, esse termo tende a 0. -
: Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, cresce sem limites, ou seja, tende a .
Passo 6
Somando os dois termos:
Resposta
Portanto,