[1] [2.5 pontos] Considere o sistema linear lk x+y=8 k y+z=8 y+k z=8
(b) Considere que k=3 no sistema acima. Solucione o sistema por Cramer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
k x + y = 8 k y + z = 8 y + k z = 8
A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o Método de Cramer para resolver sistemas lineares. Como , vamos substituir esse valor nas equações e utilizar o Método de Cramer para encontrar os valores das incógnitas , e .

Passo 2

Primeiro, substituímos 3x + y = 8 3y + z = 8 y + 3z = 8 no sistema:
3x + y + 0z = 8 0x + 3y + z = 8 0x + y + 3z = 8
Agora, nosso sistema fica:

Passo 3

Para aplicar o Método de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes ( A = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 1 & 3 ) e os determinantes das matrizes onde substituímos a coluna correspondente à incógnita pelos termos constantes ( , , ).
A matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Calculamos o determinante De da matriz De:
Expandindo pelo método de Sarrus ou co-fatores, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular Ax = 8 & 1 & 0 8 & 3 & 1 8 & 1 & 3 , substituindo a coluna de De pelos termos constantes:
Calculando :

Passo 6

Calculamos Ay = 3 & 8 & 0 0 & 8 & 1 0 & 8 & 3 , substituindo a coluna de De pelos termos constantes:
Calculando :

Passo 7

Calculamos Az = 3 & 1 & 8 0 & 3 & 8 0 & 1 & 8 , substituindo a coluna de De pelos termos constantes:
Calculando :

Passo 8

Agora, aplicamos o Método de Cramer para encontrar as variáveis:
x = De
y = De
z = De

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 2, y = 2, z = 2

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