[2] [2.5 pontos] Considere o subconjunto
de
a seguir:
Verifique se
é um subespaço de
. Em caso afirmativo, obtenha uma base e a dimensão d
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
dentro de
definido por:
O objetivo aqui é verificar se
é um subespaço de
. Se for, precisamos encontrar uma base para
e determinar sua dimensão. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como condições para um conjunto ser subespaço, e métodos para encontrar bases e dimensões de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se
satisfaz as condições para ser um subespaço. Um subespaço deve atender às seguintes três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a ? - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em ? - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Substituímos
,
,
,
nas equações de
:
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em
.
2. Fechado sob adição:
Sejam
e
em
, ou seja:
Vamos somar
e
:
Verificamos as condições para
:
Portanto,
também pertence a
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Sejam
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando por
:
Verificamos as condições para
:
Assim,
também pertence a
.
Como todas as três condições são satisfeitas,
é de fato um subespaço de
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um subespaço, vamos encontrar uma base para ele. Para isso, vamos expressar os vetores em
em termos de variáveis livres.
As condições que definem
são:
Podemos escolher
e
como variáveis livres. Assim, um vetor genérico em
pode ser escrito como:
Portanto, podemos tomar os vetores
e
como uma base para
.
Passo 5
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base para
possui dois vetores:
A dimensão de
é 2.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
. Uma base para
é
e a dimensão
de
é 2.