[2] [2.5 pontos] Considere o subconjunto U de R^4 a seguir:
U=(a, b, c, d): a+b=0, c-d=0
Verifique se U é um subespaço de R^4. Em caso afirmativo, obtenha uma base e a dimensão d

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto U = (a, b, c, d) : a + b = 0, c - d = 0 dentro de definido por:
O objetivo aqui é verificar se é um subespaço de . Se for, precisamos encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como condições para um conjunto ser subespaço, e métodos para encontrar bases e dimensões de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se satisfaz as condições para ser um subespaço. Um subespaço deve atender às seguintes três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor pertence a ?
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em ?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Substituímos 0 + 0 = 0 e 0 - 0 = 0 , a1 + b1 = 0, c1 - d1 = 0 a2 + b2 = 0, c2 - d2 = 0 , u + v = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2, d1 + d2) , (a1 + a2) + (b1 + b2) = (a1 + b1) + (a2 + b2) = 0 + 0 = 0 (c1 + c2) - (d1 + d2) = (c1 - d1) + (c2 - d2) = 0 + 0 = 0 nas equações de u = (a, b, c, d) Rightarrow a + b = 0, c - d = 0 :
ku = (ka, kb, kc, kd)
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em ka + kb = k(a + b) = k cdot 0 = 0 kc - kd = k(c - d) = k cdot 0 = 0 .
2. Fechado sob adição:
Sejam e em , ou seja:
Vamos somar e :
Verificamos as condições para :
Portanto, também pertence a .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Sejam em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Verificamos as condições para :
Assim, também pertence a .
Como todas as três condições são satisfeitas, é de fato um subespaço de .

Passo 4

Agora que sabemos que a + b = 0 Rightarrow a = -b c - d = 0 Rightarrow c = d é um subespaço, vamos encontrar uma base para ele. Para isso, vamos expressar os vetores em (a, b, c, d) = (-b, b, d, d) = b(-1, 1, 0, 0) + d(0, 0, 1, 1) em termos de variáveis livres.
As condições que definem são:
Podemos escolher e como variáveis livres. Assim, um vetor genérico em pode ser escrito como:
Portanto, podemos tomar os vetores e como uma base para .

Passo 5

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base para , (-1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) , possui dois vetores:
A dimensão de é 2.

Resposta

Sim, é um subespaço de . Uma base para é e a dimensão de é 2.

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