Nos items abaixo, estude a posiçâo relativa entre os objetos geométricos dados. No caso de interseçāo nāo vazia, forneça a equação geométrica que descreve tal intersecçāo.
c) O plano pi1: x+y-z+3=0 e o plano pi dado em (1).

Passo 1

Vamos analisar a posição relativa entre dois planos geométricos: o plano pi1: x + y - z + 3 = 0 e o plano pi que foi definido anteriormente. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço. Precisamos verificar se os planos são paralelos, coincidentes ou se intersectam em uma reta. Para isso, vamos comparar os vetores normais dos planos e, se necessário, encontrar a equação da reta de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano dado pela equação geral Ax + By + Cz + D = 0 é (A, B, C).
No caso do plano pi1: x + y - z + 3 = 0, o vetor normal é n1 = (1, 1, -1).
Vamos supor que o plano pi tenha a equação geral Ax + By + Cz + D = 0, então seu vetor normal será n = (A, B, C).

Passo 3

Para determinar a posição relativa entre os planos, comparamos os vetores normais n1 e n. Se os vetores normais forem múltiplos um do outro, ou seja, se existir um escalar k tal que n = k n1, os planos são paralelos.

Passo 4

Se os planos não forem paralelos, eles intersectam-se em uma reta. Para encontrar a equação dessa reta, resolvemos o sistema formado pelas equações dos dois planos. Isso pode ser feito, por exemplo, utilizando o método da substituição ou eliminação para encontrar duas equações lineares que descrevam a reta de interseção.

Resposta

Dependendo dos coeficientes do plano pi, os planos pi1 e pi podem ser paralelos, coincidentes ou intersectar-se em uma reta cuja equação pode ser determinada resolvendo o sistema das duas equações dos planos. Se os vetores normais não forem múltiplos, eles intersectam-se em uma reta descrita pelas soluções do sistema pi1 e pi.

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