Sejam
e
.
Quantas funções injetoras
existem? Descreva cada uma delas.
Quantas funções injetoras
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos:
e
. A pergunta é: Quantas funções injetoras
existem? E também, quais são essas funções?
Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Conjuntos e Funções Injetoras. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como contar quantas dessas funções podemos criar entre esses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se cada elemento de
é mapeado para um elemento único de
. Ou seja, não pode ter dois elementos diferentes de
que apontem para o mesmo elemento de
.
Com
tendo 3 elementos e
tendo 4, queremos atribuir cada número de
a uma letra de
, sem repetir letras.
Passo 3
Para contar quantas funções injetoras existem, usamos a ideia de permutação. Em termos simples, queremos ver de quantas maneiras podemos arranjar 3 elementos únicos de
para corresponder aos 3 de
.
A fórmula para isso é:
onde:
-
é o número de elementos em (neste caso, 4), -
é o número de elementos em (neste caso, 3).
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Então, existem 24 funções injetoras possíveis de
para
.
Passo 5
Agora, para descrever cada uma delas, vamos listar todas as combinações possíveis onde cada número de
é mapeado para uma letra única de
.
Aqui estão todas as 24 funções:
-
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Resposta
Existem 24 funções injetoras
, e cada uma delas é uma das combinações listadas acima.