Sejam S=1,2,3 e T=a, b, c, d.
Quantas funções injetoras f: S T existem? Descreva cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos: e . A pergunta é: Quantas funções injetoras existem? E também, quais são essas funções?
Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Conjuntos e Funções Injetoras. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como contar quantas dessas funções podemos criar entre esses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada elemento de é mapeado para um elemento único de . Ou seja, não pode ter dois elementos diferentes de que apontem para o mesmo elemento de .
Com tendo 3 elementos e tendo 4, queremos atribuir cada número de a uma letra de , sem repetir letras.

Passo 3

Para contar quantas funções injetoras existem, usamos a ideia de permutação. Em termos simples, queremos ver de quantas maneiras podemos arranjar 3 elementos únicos de P(m, n) = m times (m - 1) times (m - 2) times ldots times (m - n + 1) para corresponder aos 3 de .
A fórmula para isso é:
onde:
  • é o número de elementos em (neste caso, 4),
  • é o número de elementos em (neste caso, 3).

Passo 4

Aplicando a fórmula:
P(4, 3) = 4 times 3 times 2 = 24
Então, existem 24 funções injetoras possíveis de para .

Passo 5

Agora, para descrever cada uma delas, vamos listar todas as combinações possíveis onde cada número de é mapeado para uma letra única de .
Aqui estão todas as 24 funções:
  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,
  5. , ,
  6. , ,
  7. , ,
  8. , ,
  9. , ,
  10. , ,
  11. , ,
  12. , ,
  13. , ,
  14. , ,
  15. , ,
  16. , ,
  17. , ,
  18. , ,
  19. , ,
  20. , ,
  21. , ,
  22. , ,
  23. , ,
  24. , ,

Resposta

Existem 24 funções injetoras , e cada uma delas é uma das combinações listadas acima.

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