[1] [2.5 pontos] Considere o sistema linear lk x+y=8 k y+z=8 y+k z=8
(a) Use determinantes para encontrar os valores de k com os quais o sistema tem: (i) solução única, (i) mais de uma solução, (iii) nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
k x + y = 8 k y + z = 8 y + k z = 8
A matéria que vamos usar aqui é sobre determinantes e sistemas lineares. A gente precisa calcular o determinante da matriz dos coeficientes para descobrir quando o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = k & 1 & 0 0 & k & 1 0 & 1 & k
Os coeficientes são os números que estão na frente das variáveis , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = k cdot k & 1 1 & k - 1 cdot 0 & 1 0 & k + 0 cdot 0 & k 0 & 1 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível:

Passo 4

Calculando os menores:
k & 1 1 & k = k cdot k - 1 cdot 1 = k^2 - 1
0 & 1 0 & k = 0 cdot k - 1 cdot 0 = 0
0 & k 0 & 1 = 0 cdot 1 - k cdot 0 = 0

Passo 5

Substituindo de volta no determinante:
det(A) = k cdot (k^2 - 1) - 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = k^3 - k

Passo 6

Agora, analisamos o determinante para saber as condições:
  1. Solução única: Quando k^3 - k = 0 implies k(k^2 - 1) = 0 implies k = 0 ou k^2 = 1 implies k = pm 1
  2. Mais de uma solução ou Nenhuma solução: Quando
Vamos resolver :

Passo 7

Então, os valores de que fazem o determinante ser zero são , e . Isso significa que:
  • Para , o sistema tem solução única.
  • Para , o sistema pode ter mais de uma solução ou nenhuma solução. Para determinar qual é qual, precisaríamos analisar o sistema específico para cada valor de .

Resposta

Os valores de para os quais o sistema tem:
  • Solução única: Para todo diferente de , e .
  • Mais de uma solução ou Nenhuma solução: Para , e .

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