[1] [2.5 pontos] Considere o sistema linear
(a) Use determinantes para encontrar os valores de k com os quais o sistema tem: (i) solução única, (i) mais de uma solução, (iii) nenhuma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
k x + y = 8 k y + z = 8 y + k z = 8
A matéria que vamos usar aqui é sobre determinantes e sistemas lineares. A gente precisa calcular o determinante da matriz dos coeficientes para descobrir quando o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = k & 1 & 0 0 & k & 1 0 & 1 & k
Os coeficientes são os números que estão na frente das variáveis , e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = k cdot k & 1 1 & k - 1 cdot 0 & 1 0 & k + 0 cdot 0 & k 0 & 1 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível:
Passo 4
Calculando os menores:
k & 1 1 & k = k cdot k - 1 cdot 1 = k^2 - 1
0 & 1 0 & k = 0 cdot k - 1 cdot 0 = 0
0 & k 0 & 1 = 0 cdot 1 - k cdot 0 = 0
Passo 5
Substituindo de volta no determinante:
det(A) = k cdot (k^2 - 1) - 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = k^3 - k
Passo 6
Agora, analisamos o determinante para saber as condições:
Solução única: Quando k^3 - k = 0 implies k(k^2 - 1) = 0 implies k = 0 ou k^2 = 1 implies k = pm 1
Mais de uma solução ou Nenhuma solução: Quando
Vamos resolver :
Passo 7
Então, os valores de que fazem o determinante ser zero são , e . Isso significa que:
Para , o sistema tem solução única.
Para , o sistema pode ter mais de uma solução ou nenhuma solução. Para determinar qual é qual, precisaríamos analisar o sistema específico para cada valor de .
Resposta
Os valores de para os quais o sistema tem:
Solução única: Para todo diferente de , e .
Mais de uma solução ou Nenhuma solução: Para , e .