Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetora as seguintes funções de R em R.
f(x)=x^2-5 x-6

Passo 1

Então, a gente vai analisar a função que vai de para . O objetivo aqui é descobrir se essa função é injetora (ou seja, se não tem dois valores diferentes de que dão o mesmo ) ou sobrejetora (se todo valor de é atingido por algum na função). Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada no conjunto imagem, existe um único tal que . No caso de funções quadráticas, que são parábolas, geralmente elas não são injetoras porque elas têm a mesma imagem para valores de simétricos em relação ao vértice.

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora. Observando a função , sabemos que é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo). Isso significa que, para cada valor de acima do vértice, existem dois valores de que dão esse . Logo, a função não é injetora porque não satisfaz a condição de ter apenas um para cada .

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( ) é imagem de pelo menos um elemento do domínio ( ). Para funções quadráticas que abrem para cima ou para baixo, o alcance da função não é todo .

Passo 5

Vamos encontrar o valor mínimo da função para verificar o alcance. A fórmula do vértice de uma parábola xv = --52 times 1 = 52 é f(52) = (52)^2 - 5(52) - 6 = 254 - 252 - 6 = 254 - 504 - 244 = -494 . Aqui, e , então:
Substituindo na função para encontrar o :
Então, o valor mínimo da função é . Como a função é crescente para e decrescente para , o alcance da função é .

Resposta

A função não é injetora nem sobrejetora sobre .

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