Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetora as seguintes funções de
em
.
Passo 1
Então, a gente vai analisar a função
que vai de
para
. O objetivo aqui é descobrir se essa função é injetora (ou seja, se não tem dois valores diferentes de
que dão o mesmo
) ou sobrejetora (se todo valor de
é atingido por algum
na função). Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma função injetora. Uma função é injetora se, para cada
no conjunto imagem, existe um único
tal que
. No caso de funções quadráticas, que são parábolas, geralmente elas não são injetoras porque elas têm a mesma imagem para valores de
simétricos em relação ao vértice.
Passo 3
Vamos verificar se a função é injetora. Observando a função
, sabemos que é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo). Isso significa que, para cada valor de
acima do vértice, existem dois valores de
que dão esse
. Logo, a função não é injetora porque não satisfaz a condição de ter apenas um
para cada
.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (
) é imagem de pelo menos um elemento do domínio (
). Para funções quadráticas que abrem para cima ou para baixo, o alcance da função não é todo
.
Passo 5
Vamos encontrar o valor mínimo da função para verificar o alcance. A fórmula do vértice de uma parábola
é
. Aqui,
e
, então:
Substituindo
na função para encontrar o
:
Então, o valor mínimo da função é
. Como a função é crescente para
e decrescente para
, o alcance da função é
.
Resposta
A função
não é injetora nem sobrejetora sobre
.