Considere a função g: Z5 times Z9 Z5 times Z9 tal que g(barx, bary)=(2 x+3, 4 y+5).
g é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma função chamada que vai de para . A pergunta é: será que essa função é injetora? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como analisar as componentes dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora (ou um-para-um) se não houver dois pares diferentes de entrada que resultem no mesmo par de saída. Em outras palavras, se então necessariamente e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a definição da função g(barx, bary) = (2x + 3, 4y + 5) :
Isso significa que a função pega um par onde está em (inteiros módulo 5) e está em (inteiros módulo 9), e mapeia para outro par onde o primeiro componente é módulo 5 e o segundo é módulo 9.

Passo 4

Vamos analisar cada componente da função separadamente para ver se elas são injetoras.

Componente 1: em

Aqui, estamos multiplicando por 2 e somando 3, tudo isso módulo 5. Para que essa parte seja injetora, precisamos que a multiplicação por 2 seja uma operação injetora em .
Como e são coprimos (o máximo divisor comum entre eles é 1), a multiplicação por 2 é realmente injetora em . Isso significa que valores diferentes de vão dar resultados diferentes após essa transformação.

Componente 2: em

De forma similar, aqui multiplicamos por 4 e somamos 5, tudo módulo 9. Precisamos verificar se a multiplicação por 4 é injetora em .
Novamente, e são coprimos (o máximo divisor comum é 1), então a multiplicação por 4 também é injetora em . Assim, valores diferentes de resultam em saídas diferentes.

Passo 5

Como vimos, ambas as componentes da função são injetoras nos respectivos conjuntos. Isso significa que se dois pares e passarem pela função e derem o mesmo resultado, então necessariamente e .

Passo 6

Portanto, a função como um todo é injetora porque as duas partes que a compõem também são injetoras. Não existem dois pares diferentes de entrada que se mapeiam para o mesmo par de saída.

Resposta

Sim, a função é injetora.

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