Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetora as seguintes funções de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a função
como injetora ou sobrejetora quando mapeada de
para
. Isso está dentro do conteúdo de funções e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio têm pelo menos um elemento no domínio que mapeia para eles).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, quando
, isso implica que
. Vamos ver se isso acontece aqui.
Passo 3
Vamos supor que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então,
ou
.
Passo 4
Como encontramos que
, isso significa que a função não é injetora, porque diferentes valores de
(especificamente,
e
) podem dar o mesmo valor de
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo valor real
deve ter pelo menos um
real tal que
. Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Isolando
:
Para
ser um número real,
deve ser maior ou igual a zero.
Passo 6
Vamos analisar o valor de
:
- Se
, seria negativa, o que não é possível para . - Se
, temos , que é válido. - Se
, é positivo, então existem valores reais de . - Se
, o denominador fica zero, o que não é possível. - Se
, seria negativa, novamente inviável.
Passo 7
Então, os valores possíveis de
estão no intervalo
. Isso significa que a função não cobre todo o conjunto dos números reais
, mas apenas esse intervalo. Portanto, a função não é sobrejetora em
, já que há valores, como
, que não têm nenhum
correspondente.
Resposta
A função
não é injetora nem sobrejetora quando mapeada de
para
.