Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetora as seguintes funções de R em R.
f(x)=x^2 /(1+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a função como injetora ou sobrejetora quando mapeada de para . Isso está dentro do conteúdo de funções e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio têm pelo menos um elemento no domínio que mapeia para eles).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, quando , isso implica que . Vamos ver se isso acontece aqui.

Passo 3

Vamos supor que a^21 + a^2 = b^21 + b^2 :
a^2(1 + b^2) = b^2(1 + a^2)
Multiplicando ambos os lados por a^2 + a^2b^2 = b^2 + a^2b^2 :
a^2 = b^2
Isso simplifica para:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, ou .

Passo 4

Como encontramos que , isso significa que a função não é injetora, porque diferentes valores de (especificamente, e ) podem dar o mesmo valor de .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo valor real x^21 + x^2 = y deve ter pelo menos um x^2 = y(1 + x^2) real tal que x^2 = y + yx^2 . Vamos resolver a equação:
x^2 - yx^2 = y implies x^2(1 - y) = y implies x^2 = y1 - y
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Isolando :
Para ser um número real, deve ser maior ou igual a zero.

Passo 6

Vamos analisar o valor de :
  • Se , seria negativa, o que não é possível para .
  • Se , temos , que é válido.
  • Se , é positivo, então existem valores reais de .
  • Se , o denominador fica zero, o que não é possível.
  • Se , seria negativa, novamente inviável.

Passo 7

Então, os valores possíveis de estão no intervalo . Isso significa que a função não cobre todo o conjunto dos números reais , mas apenas esse intervalo. Portanto, a função não é sobrejetora em , já que há valores, como , que não têm nenhum correspondente.

Resposta

A função não é injetora nem sobrejetora quando mapeada de para .

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