Achar uma função
, com
e
subconjuntos de
, para cada caso abaixo:
e
injetora e não sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que encontrar uma função
, onde
e
são subconjuntos dos números reais
. As condições dadas são:
-
não é igual a (ou seja, é um subconjunto próprio de ). -
. - A função
deve ser injetora (cada elemento de mapeia para um elemento único em ). - A função
não deve ser sobrejetora (nem todo elemento de é atingido por ).
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras e sobrejetoras e como construir uma função que atenda a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Ou seja, elementos diferentes de
não mapeiam para o mesmo elemento em
.
Por outro lado, uma função é sobrejetora se todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Queremos que
não seja sobrejetora, ou seja, existam elementos em
que não são atingidos por
.
Passo 3
Vamos escolher um conjunto
que seja um subconjunto próprio de
. Por exemplo, podemos tomar
, que é o intervalo fechado entre 0 e 1. Claro, existem muitos outros subconjuntos que poderíamos usar, mas esse é simples e fácil de trabalhar.
Agora, definimos
, como especificado.
Passo 4
Vamos definir a função
como
.
-
Injetividade: Se
, então . Isso mostra que é injetora, pois cada valor de em mapeia para um valor único em . -
Sobrejetividade: A função
mapeia apenas os valores de 0 a 1 em . Portanto, muitos números reais fora desse intervalo não são atingidos por , tornando-a não sobrejetora.
Resposta
Uma função que atende aos critérios é
definida por
. Ela é injetora e não sobrejetora.