Achar uma função f: A B, com A e B subconjuntos de R, para cada caso abaixo:
A nsubseteq R, B=R e f injetora e não sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que encontrar uma função , onde e são subconjuntos dos números reais . As condições dadas são:
  • não é igual a (ou seja, é um subconjunto próprio de ).
  • .
  • A função deve ser injetora (cada elemento de mapeia para um elemento único em ).
  • A função não deve ser sobrejetora (nem todo elemento de é atingido por ).
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras e sobrejetoras e como construir uma função que atenda a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Ou seja, elementos diferentes de não mapeiam para o mesmo elemento em .
Por outro lado, uma função é sobrejetora se todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de . Queremos que não seja sobrejetora, ou seja, existam elementos em que não são atingidos por .

Passo 3

Vamos escolher um conjunto que seja um subconjunto próprio de . Por exemplo, podemos tomar , que é o intervalo fechado entre 0 e 1. Claro, existem muitos outros subconjuntos que poderíamos usar, mas esse é simples e fácil de trabalhar.
Agora, definimos , como especificado.

Passo 4

Vamos definir a função como .
  • Injetividade: Se , então . Isso mostra que é injetora, pois cada valor de em mapeia para um valor único em .
  • Sobrejetividade: A função mapeia apenas os valores de 0 a 1 em . Portanto, muitos números reais fora desse intervalo não são atingidos por , tornando-a não sobrejetora.

Resposta

Uma função que atende aos critérios é definida por . Ela é injetora e não sobrejetora.

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