[1,5] Calcule A+A^t=S e verifique se S é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a soma de uma matriz com a sua transposta , resultando na matriz . Depois, vamos verificar se essa matriz é simétrica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transposição de matrizes e definição de matriz simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz A = a & b c & d , denotada por A^t = a & c b & d , é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se for:
Então, a transposta será:

Passo 3

Agora, vamos calcular S = A + A^t = a + a & b + c c + b & d + d = 2a & b + c b + c & 2d . Somar duas matrizes significa somar cada elemento correspondente. Usando o exemplo acima:

Passo 4

Depois de encontrar S^t = 2a & b + c b + c & 2d , precisamos verificar se ela é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, S = 2a & b + c b + c & 2d . Vamos verificar isso:
Calculando a transposta de :
Compare com :
Como , concluímos que é simétrica.

Resposta

A matriz é simétrica.

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