Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa mostrar que o produto escalar de dois vetores
e
é igual à soma dos produtos das suas componentes correspondentes, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto escalar e como trabalhar com as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número (escalar) e é definido pela fórmula:
onde
e
são as magnitudes (ou módulos) dos vetores
e
, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, vamos considerar que os vetores estão representados pelas suas componentes em um sistema de coordenadas. Seja:
onde
e
são as componentes dos vetores
e
, respectivamente.
Passo 4
O que queremos mostrar é que o produto escalar pode ser calculado como a soma dos produtos das componentes correspondentes:
Passo 5
Para isso, vamos usar a definição do produto escalar que envolve o cosseno do ângulo e relacionar com as componentes dos vetores. Sabemos que:
Além disso, o cosseno do ângulo
pode ser expresso em termos das componentes dos vetores. Ao combinar essas expressões e realizar as operações algébricas apropriadas, chegamos à conclusão de que:
Resposta
Portanto, demonstramos que o produto escalar
é igual à soma dos produtos de suas componentes correspondentes: