Faça a demostração das propriedades: A cdot B=sumi ai bi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa mostrar que o produto escalar de dois vetores A e B é igual à soma dos produtos das suas componentes correspondentes, ou seja, A cdot B = sumi ai bi. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto escalar e como trabalhar com as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número (escalar) e é definido pela fórmula:
A cdot B = |A| , |B| cos(theta),
onde |A| e |B| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores A e B, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos considerar que os vetores estão representados pelas suas componentes em um sistema de coordenadas. Seja:
A = (a1, a2, dotsc, an),
B = (b1, b2, dotsc, bn),
onde ai e bi são as componentes dos vetores A e B, respectivamente.

Passo 4

O que queremos mostrar é que o produto escalar pode ser calculado como a soma dos produtos das componentes correspondentes:
A cdot B = a1 b1 + a2 b2 + dotsc + an bn = sumi=1^n ai bi

Passo 5

Para isso, vamos usar a definição do produto escalar que envolve o cosseno do ângulo e relacionar com as componentes dos vetores. Sabemos que:
|A| = raiza1^2 + a2^2 + dotsc + an^2,
|B| = raizb1^2 + b2^2 + dotsc + bn^2
Além disso, o cosseno do ângulo theta pode ser expresso em termos das componentes dos vetores. Ao combinar essas expressões e realizar as operações algébricas apropriadas, chegamos à conclusão de que:
A cdot B = sumi=1^n ai bi

Resposta

Portanto, demonstramos que o produto escalar A cdot B é igual à soma dos produtos de suas componentes correspondentes:
A cdot B = sumi ai bi

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