Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações: l2 x+3 y+z=2 -3 x-3 y+z=0 -x+2 y+3 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Cramer, que envolve determinantes. Temos três equações com três incógnitas (x, y, z) e vamos precisar calcular alguns determinantes para achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz A = 2 & 3 & 1 -3 & -3 & 1 -1 & 2 & 3 é formada pelos números que estão na frente das variáveis nas três equações:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , que é representado por det(A) = 2(-3 cdot 3 - 1 cdot 2) - 3(-3 cdot 3 - 1 cdot (-1)) + 1(-3 cdot 2 - (-3) cdot (-1)) . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = 2(-9 - 2) - 3(-9 + 1) + 1(-6 - 3) = 2(-11) - 3(-8) + 1(-9) = -22 + 24 - 9 = -7
Aplicando os valores da matriz :
Fazendo as contas:

Passo 4

Agora, vamos criar as matrizes Ax = 2 & 3 & 1 0 & -3 & 1 1 & 2 & 3 , det(Ax) = 2(-3 cdot 3 - 1 cdot 2) - 3(0 cdot 3 - 1 cdot 1) + 1(0 cdot 2 - (-3) cdot 1) = 2(-9 -2) - 3(0 -1) + 1(0 +3) = -22 + 3 + 3 = -16 e substituindo, respectivamente, as colunas de pelos termos constantes do sistema (o lado direito das equações, que são 2, 0 e 1).
Primeiro, a matriz :
Calculando o determinante de :

Passo 5

Agora, a matriz Ay = 2 & 2 & 1 -3 & 0 & 1 -1 & 1 & 3 :
det(Ay) = 2(0 cdot 3 - 1 cdot 1) - 2(-3 cdot 3 -1 cdot (-1)) + 1(-3 cdot1 -0 cdot (-1)) = 2(0 -1) - 2(-9 +1) + 1(-3 -0) = -2 + 16 -3 = 11
Calculando o determinante de :

Passo 6

Por último, a matriz Az = 2 & 3 & 2 -3 & -3 & 0 -1 & 2 & 1 :
det(Az) = 2(-3 cdot 1 - 0 cdot 2) -3(-3 cdot1 -0 cdot (-1)) +2(-3 cdot2 - (-3) cdot (-1)) = 2(-3 -0) -3(-3 -0) +2(-6 -3) = -6 +9 -18 = -15
Calculando o determinante de :

Passo 7

Agora, vamos usar a regra de Cramer para encontrar cada variável:
x = det(Ax)det(A) = -16-7 = 167
y = det(Ay)det(A) = 11-7 = -117
z = det(Az)det(A) = -15-7 = 157

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 167, y = -117, z = 157

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