[1,5] Calcule a integral imprópria y=integral-infty^0 1(x-8)^2 / 3 d x. A integral é imprópria do Tipo I ou do Tipo II? A integral é convergente ou divergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular uma integral imprópria: . Além disso, precisamos identificar de que tipo de integral imprópria se trata (Tipo I ou Tipo II) e dizer se ela é convergente ou divergente. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Ela ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função integrada tem descontinuidades no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é , então estamos lidando com uma integral imprópria do Tipo II, que é aquela onde um dos limites de integração é infinito.

Passo 3

Agora, vamos tentar resolver a integral integral-infty^-8 1u^2/3 , du . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, , e os limites de integração mudam:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 4

Sabemos que integral-infty^-8 1|u|^2/3 , du é o mesmo que . Para negativo, está definido (é a raiz cúbica de um número negativo), e ao quadrado, tudo fica positivo. Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 5

Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar ainda mais. Seja integralinfty^8 1t^2/3 , (-dt) . Como integral8^infty 1t^2/3 , dt vai de até , vai de até . A integral fica:
Mas pelo sinal negativo, invertemos os limites:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral 31 , t^1/3 . A antiderivada de 3 ( L^1/3 - 8^1/3 ) é:
Então, avaliamos de a , onde tende ao infinito:
À medida que vai para o infinito, também vai para o infinito. Isso significa que a integral tende a infinito.

Resposta

A integral imprópria é do Tipo II e é divergente.

Exercícios relacionados