Calcule a integral imprópria
. A integral é imprópria do Tipo I ou do Tipo II? A integral é convergente ou divergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular uma integral imprópria:
. Além disso, precisamos identificar de que tipo de integral imprópria se trata (Tipo I ou Tipo II) e dizer se ela é convergente ou divergente. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Ela ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função integrada tem descontinuidades no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é
, então estamos lidando com uma integral imprópria do Tipo II, que é aquela onde um dos limites de integração é infinito.
Passo 3
Agora, vamos tentar resolver a integral
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja
. Assim,
, e os limites de integração mudam:
- Quando
, . - Quando
, .
Então, a integral fica:
Passo 4
Sabemos que
é o mesmo que
. Para
negativo,
está definido (é a raiz cúbica de um número negativo), e ao quadrado, tudo fica positivo. Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 5
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar ainda mais. Seja
. Como
vai de
até
,
vai de
até
. A integral fica:
Mas pelo sinal negativo, invertemos os limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é:
Então, avaliamos de
a
, onde
tende ao infinito:
À medida que
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Isso significa que a integral tende a infinito.
Resposta
A integral imprópria
é do Tipo II e é divergente.
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, onde
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e
.
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e
. Faça um esboço do sólido.