[1,5] Determine a área da região entre curvas de f(x) = 3 x e g(x) = 6 - 3 x^2 para x in [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a área da região entre as curvas das funções e no intervalo de de 0 a 1. Vamos usar um método que envolve cálculo de integrais para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são as duas funções envolvidas:
  • é uma função linear, que representa uma reta.
  • é uma função quadrática, que representa uma parábola virada para baixo.
Vamos visualizar qual dessas funções está por cima da outra no intervalo de de 0 a 1. Isso é importante porque, para calcular a área entre elas, subtrairemos a função que está embaixo da que está em cima.

Passo 3

Vamos calcular os valores das funções nos extremos do intervalo para ver quem fica por cima:
  • Para :
  • Para :
Vemos que em , está acima de , e em , ambas as funções se encontram em . Como é uma parábola que desce, ela estará acima de em todo o intervalo de 0 a 1.

Passo 4

Agora que sabemos que está acima de no intervalo dado, podemos calcular a área entre elas usando a seguinte fórmula de integral:
Á
Onde e .

Passo 5

Vamos substituir as funções na fórmula:
Á
Á
Agora, vamos integrar termo a termo:
Á
Agora, avaliamos a expressão no limite superior e subtraímos a avaliação no limite inferior:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região entre as curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados