Determine a área da região entre curvas de
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a área da região entre as curvas das funções
e
no intervalo de
de 0 a 1. Vamos usar um método que envolve cálculo de integrais para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são as duas funções envolvidas:
-
é uma função linear, que representa uma reta. -
é uma função quadrática, que representa uma parábola virada para baixo.
Vamos visualizar qual dessas funções está por cima da outra no intervalo de
de 0 a 1. Isso é importante porque, para calcular a área entre elas, subtrairemos a função que está embaixo da que está em cima.
Passo 3
Vamos calcular os valores das funções nos extremos do intervalo para ver quem fica por cima:
- Para
: -
- Para
: -
Vemos que em
,
está acima de
, e em
, ambas as funções se encontram em
. Como
é uma parábola que desce, ela estará acima de
em todo o intervalo de 0 a 1.
Passo 4
Agora que sabemos que
está acima de
no intervalo dado, podemos calcular a área entre elas usando a seguinte fórmula de integral:
Onde
e
.
Passo 5
Vamos substituir as funções na fórmula:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos a expressão no limite superior e subtraímos a avaliação no limite inferior:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região entre as curvas é
unidades quadradas.