Seja . Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros e . Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas x, y e z são positivas). Esse sólido é limitado por dois cilindros: e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais triplas, que nos ajuda a calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites onde vamos integrar. Como estamos no primeiro octante, temos:
  • Para cada valor de , varia de até (vindos do cilindro )
  • De maneira similar, para cada , também varia de até (vindos do cilindro )

Passo 3

Com esses limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Primeiro, integramos em relação a :
  1. Em seguida, integramos em relação a :
  1. Por último, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é .

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Se denota o maior inteiro contido em , calcule a integral
onde .