Calcule , onde é um inteiro e é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um inteiro e é a região entre dois círculos com raios e (sendo ). Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares fica:
Essa mudança simplifica bastante a nossa integral porque a região é um anel (a área entre dois círculos).

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na nossa integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Dependendo do valor de , temos duas situações:
  • Se :
Então, avaliando de a :
  • Se :
E avaliando de a :

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a , que vai de a :
  • Para :
Podemos simplificar isso para:
  • Para :

Resposta

A integral dupla vale:

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