Calcule integral duplaD 1(x^2+y^2)^n / 2 d A, onde n é um inteiro e D é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios r e R, 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um inteiro e é a região entre dois círculos com raios e (sendo ). Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas x = rho costheta e y = rho sintheta para coordenadas polares dA = rho , drho , dtheta :
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares fica:
Essa mudança simplifica bastante a nossa integral porque a região é um anel (a área entre dois círculos).

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na nossa integral original:
integral duplaD 1(x^2+y^2)^n / 2 , dA = integral0^2pi integralr^R 1rho^n cdot rho , drho , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integralr^R rho^1 - n , drho , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integralr^R rho^1 - n , drho :
integral rho^1 - n , drho = rho^2 - n2 - n
Dependendo do valor de R^2 - n - r^2 - n2 - n , temos duas situações:
  • Se integral rho^-1 , drho = ln rho :
ln R - ln r = ln(Rr)
Então, avaliando de a :
  • Se :
E avaliando de a :

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a integral0^2pi R^2 - n - r^2 - n2 - n , dtheta = R^2 - n - r^2 - n2 - n cdot 2pi = 2pi (R^2 - n - r^2 - n)2 - n , que vai de 2pi (r^2 - n - R^2 - n)n - 2 a integral0^2pi ln(Rr) , dtheta = ln(Rr) cdot 2pi = 2pi ln(Rr) :
  • Para :
Podemos simplificar isso para:
  • Para :

Resposta

A integral dupla vale:
integral duplaD 1(x^2+y^2)^n / 2 , dA = 2pi (r^2 - n - R^2 - n)n - 2, & se n neq 2 2pi ln(Rr), & se n = 2

Exercícios relacionados