Calcule , onde é um inteiro e é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um inteiro e é a região entre dois círculos com raios e (sendo ). Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares fica:
Essa mudança simplifica bastante a nossa integral porque a região é um anel (a área entre dois círculos).
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na nossa integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Dependendo do valor de , temos duas situações:
Se :
Então, avaliando de a :
Se :
E avaliando de a :
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a , que vai de a :