Calcule
, onde
é um inteiro e
é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é um inteiro e
é a região entre dois círculos com raios
e
(sendo
). Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares fica:
Essa mudança simplifica bastante a nossa integral porque a região
é um anel (a área entre dois círculos).
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na nossa integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Dependendo do valor de
, temos duas situações:
- Se
:
Então, avaliando de
a
:
- Se
:
E avaliando de
a
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
, que vai de
a
:
- Para
:
Podemos simplificar isso para:
- Para
:
Resposta
A integral dupla vale: