a) Tomemos a função de onda quadrática phi1(x)=A x(L-x). Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização A. Dica: integre apenas dentro da região de interesse 0 <= x <= L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para normalizar a função de onda quadrática phi1(x) = A x(L - x). Isso faz parte do estudo de mecânica quântica, mais especificamente sobre funções de onda. Para normalizar, precisamos encontrar o valor da constante A que faz com que a integral do quadrado da função de onda em toda a região de interesse ( 0 <= x <= L) seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Normalizar uma função de onda significa ajustar a constante A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo considerado seja 1. Matematicamente, isso se expressa pela condição:
integral0^L |phi1(x)|^2 , dx = 1

Passo 3

Agora, substituímos a função de onda phi1(x) na condição de normalização:
integral0^L (A x(L - x))^2 , dx = 1
Isso simplifica para:
A^2 integral0^L x^2 (L - x)^2 , dx = 1

Passo 4

Vamos expandir o termo (L - x)^2 para facilitar a integração:
(L - x)^2 = L^2 - 2Lx + x^2
Substituindo na integral:
A^2 integral0^L x^2 (L^2 - 2Lx + x^2) , dx = A^2 integral0^L (L^2 x^2 - 2L x^3 + x^4) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^L L^2 x^2 , dx = L^2 cdot L^33 = L^53
integral0^L 2L x^3 , dx = 2L cdot L^44 = L^52
integral0^L x^4 , dx = L^55
Substituindo de volta na expressão:
A^2 ( L^53 - L^52 + L^55 ) = 1

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:
13 - 12 + 15 = 10 - 15 + 630 = 130
Então, temos:
A^2 cdot L^530 = 1

Passo 7

Isolando A^2:
A^2 = 30L^5
E tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar A:
A = raiz30L^5/2

Resposta

A constante de normalização é A = dfracraiz30L^5/2.

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