[1 pt] Considere a função f(x)=ll3 x^3-2 x-1, & x<1 função f(x) seja contínua. Justic rx=1 2 x^2-|1-x|-2, x >= 1
Determine, caso exista, o valor de a para que a
l fis: f(raizx-3+De
l 2 x^2-11-x mid-2=2 cdot 4^2-11-cos -2=-2-2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes e nos pede para encontrar o valor de que torna essa função contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se os seguintes três critérios forem atendidos:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em , então precisamos garantir que esses três critérios sejam satisfeitos nesse ponto.

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
f(x) = 3x^3 - 2x - 1, & se x < 1 a, & se x = 1 2x^2 - |1 - x| - 2, & se x >= 1
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em .

Passo 4

Vamos calcular o limite de limx to 1^- f(x) = 3(1)^3 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0 quando f(x) = 2x^2 - (x - 1) - 2 = 2x^2 - x + 1 - 2 = 2x^2 - x - 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = 2(1)^2 - 1 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0 ) e pela direita ( ).
Limite pela esquerda ( ):
Quando , a função é . Então,
Limite pela direita ( ):
Quando , a função é . Para próximo a 1 e maior que 1, . Portanto,
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Agora, sabemos que:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^+ f(x) = 0
Para que a função seja contínua em f(1) = a = 0 , o valor da função nesse ponto deve ser igual a esses limites. Ou seja,

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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