[1 pt] Considere a função função seja contínua. Justic
Determine, caso exista, o valor de a para que a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes e nos pede para encontrar o valor de que torna essa função contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se os seguintes três critérios forem atendidos:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em , então precisamos garantir que esses três critérios sejam satisfeitos nesse ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em .
Passo 4
Vamos calcular o limite de limx to 1^- f(x) = 3(1)^3 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0 quando f(x) = 2x^2 - (x - 1) - 2 = 2x^2 - x + 1 - 2 = 2x^2 - x - 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = 2(1)^2 - 1 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0 ) e pela direita ().
Limite pela esquerda ():
Quando , a função é . Então,
Limite pela direita ():
Quando , a função é . Para próximo a 1 e maior que 1, . Portanto,
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Agora, sabemos que:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^+ f(x) = 0
Para que a função seja contínua em f(1) = a = 0 , o valor da função nesse ponto deve ser igual a esses limites. Ou seja,