Considere as as funções .
(b) pt] Determinar o intervalo em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções: , e . A parte que vamos focar aqui é a parte (b), que pede pra determinar o intervalo onde . Pra isso, vamos precisar saber sobre valores absolutos e resolver desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as funções e na desigualdade para deixar tudo em termos de . Assim, temos:
Então, a desigualdade fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da desigualdade. Primeiro, calculamos . Lembre-se que o valor absoluto sempre dá um número positivo ou zero, então pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de .

Passo 4

Vamos analisar os casos para :
  1. Quando , ou seja, :
    Então,
  2. Quando , ou seja, :
    Então, ( 1 - |7 - x| = 1 - (x - 7) = 8 - x
    ]

Passo 5

Agora, temos dois casos para resolver a desigualdade lado direito:
Caso 1:
Caso 2:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 6

Resolvendo o Caso 1: e
O valor absoluto pode ser positivo ou negativo dentro da desigualdade, então vamos considerar dois subcasos:
a) Quando , ou seja, :
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é sempre verdade, então para , a desigualdade sempre vale.
b) Quando , ou seja, :
Simplificando:
Somando e de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Ou seja, . Como já estamos no caso , essa parte também é válida.

Passo 7

Resolvendo o Caso 2: e
Aqui, (porque para ):
Somando de ambos os lados:
Subtraindo 2:
Dividindo por 2:
Como estamos no caso onde , a solução para esse caso é .

Passo 8

Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos:
  • Do Caso 1:
  • Do Caso 2:
Então, combinando ambos, temos que a desigualdade é verdadeira para todos os valores de maiores ou iguais a .

Resposta

O intervalo em que é .

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