Considere as as funções
.
(b)
pt] Determinar o intervalo em que
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções:
,
e
. A parte que vamos focar aqui é a parte (b), que pede pra determinar o intervalo onde
. Pra isso, vamos precisar saber sobre valores absolutos e resolver desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as funções
e
na desigualdade para deixar tudo em termos de
. Assim, temos:
Então, a desigualdade fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito da desigualdade. Primeiro, calculamos
. Lembre-se que o valor absoluto
sempre dá um número positivo ou zero, então
pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de
.
Passo 4
Vamos analisar os casos para
:
-
Quando
, ou seja, : Então, -
Quando
, ou seja, : Então, ( 1 - |7 - x| = 1 - (x - 7) = 8 - x
]
Passo 5
Agora, temos dois casos para resolver a desigualdade
lado direito:
Caso 1:
Caso 2:
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 6
Resolvendo o Caso 1:
e
O valor absoluto
pode ser positivo ou negativo dentro da desigualdade, então vamos considerar dois subcasos:
a) Quando
, ou seja,
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso é sempre verdade, então para
, a desigualdade sempre vale.
b) Quando
, ou seja,
:
Simplificando:
Somando
e
de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Ou seja,
. Como já estamos no caso
, essa parte também é válida.
Passo 7
Resolvendo o Caso 2:
e
Aqui,
(porque
para
):
Somando
de ambos os lados:
Subtraindo 2:
Dividindo por 2:
Como estamos no caso onde
, a solução para esse caso é
.
Passo 8
Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos:
- Do Caso 1:
- Do Caso 2:
Então, combinando ambos, temos que a desigualdade é verdadeira para todos os valores de
maiores ou iguais a
.
Resposta
O intervalo em que
é
.
Exercícios relacionados
Considere as as funções
.
(a) Determine o domínio da função
(a)
Considere as as funções
.
© pt] Esboce o gráfico de
©
Calcule os limites abaixo:
(a)
(a)
[1 pt] Considere a função
função
seja contínua. Justic
Determine, caso exista, o valor de a para que a
Determine, caso exista, o valor de a para que a