Em
considere a seguinte relação de Equivalência
Obter a partição de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto
e uma relação de equivalência definida por
. Nosso objetivo é encontrar a partição de
gerada por essa relação. Basicamente, vamos dividir o conjunto
em classes de equivalência onde todos os elementos são equivalentes entre si segundo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
e
têm o mesmo quadrado. Portanto,
pode ser igual a
ou a
, já que
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as classes de equivalência. Para cada
em
, a classe de equivalência de
, denotada por
, é o conjunto de todos os
em
que satisfazem
. Como vimos, isso significa que
ou
.
Passo 4
Vamos aplicar isso no nosso conjunto
. Vejamos alguns exemplos:
- Para
: , pois . - Para
: . - Para
: .
Passo 5
Observamos que cada número em
está emparelhado com seu oposto, exceto
, que é igual ao seu próprio oposto. Assim, as classes de equivalência são:
-
-
para todo em com
Passo 6
Finalmente, a partição de
é o conjunto de todas essas classes de equivalência. Ou seja, agrupamos todos os elementos de
que são equivalentes segundo
.
Resposta
A partição de
é: