Em A=[-1,1] considere a seguinte relação de Equivalência
R = {(x, y) em A^2 : x^2 = y^2}
Obter a partição de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto e uma relação de equivalência definida por . Nosso objetivo é encontrar a partição de gerada por essa relação. Basicamente, vamos dividir o conjunto em classes de equivalência onde todos os elementos são equivalentes entre si segundo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que e têm o mesmo quadrado. Portanto, pode ser igual a ou a , já que .

Passo 3

Agora, vamos identificar as classes de equivalência. Para cada em , a classe de equivalência de , denotada por , é o conjunto de todos os em que satisfazem . Como vimos, isso significa que ou .

Passo 4

Vamos aplicar isso no nosso conjunto . Vejamos alguns exemplos:
  • Para : , pois .
  • Para : .
  • Para : .

Passo 5

Observamos que cada número em está emparelhado com seu oposto, exceto , que é igual ao seu próprio oposto. Assim, as classes de equivalência são:
  • para todo em com

Passo 6

Finalmente, a partição de é o conjunto de todas essas classes de equivalência. Ou seja, agrupamos todos os elementos de que são equivalentes segundo .

Resposta

A partição de é:

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