Encontre as classes de equivalência e o conjunto quociente Z_5 determinados pela relação de congruência módulo 5 em Z e responda:
a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Observando as respostas anteriores, complete a seguinte tabela de
+ 0 1 2 3 4
0
1 0
2 4
3 1
4 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre classes de equivalência e o conjunto quociente Z_5, que é basicamente dividir os números inteiros em grupos com base na congruência módulo 5. Para resolver isso, vamos precisar entender como as classes funcionam e como somar elementos dessas classes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas inteiros a e b estão na mesma classe de equivalência módulo 5 se a diferença for divisível por 5. As classes de equivalência em Z_5 são: 0, 1, 2, 3 e 4, onde cada número representa todos os inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por 5.

Passo 3

a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
Se temos dois números na classe 2, digamos a e b, então e . Quando somamos esses dois números:
Então, a soma está na classe 4.

Passo 4

b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
Vamos chamar o número da classe 2 de a e o da classe 1 de b. Então:
Somando:
Portanto, a soma está na classe 3.

Passo 5

c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Se temos dois números na classe 4, digamos a e b, então:
Somando:
Então, a soma está na classe 3.

Passo 6

Agora, vamos completar a tabela de adição com base nas respostas que encontramos e nas propriedades das classes de equivalência.

Resposta

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

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