Em
consideremos a seguinte relação de Equivalência
Determinar a correspondente partição de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
e uma relação de equivalência definida por:
Nosso objetivo é determinar a partição correspondente de
. Para isso, vamos usar conceitos de relações de equivalência e partições de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. É uma relação que satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simétrica: se
está relacionado com , então está relacionado com . - Transitiva: se
está relacionado com e está relacionado com , então está relacionado com .
A relação
dada é reflexiva porque todo elemento
de
está relacionado com ele mesmo (
). Também é simétrica porque se
, então
. A transitividade pode ser verificada observando que não há contradições na relação dada.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de
é uma divisão dos elementos de
em subconjuntos não vazios, onde cada elemento de
pertence a exatamente um subconjunto.
Para encontrar a partição correspondente à relação de equivalência
, precisamos identificar as classes de equivalência, ou seja, grupos de elementos que estão relacionados entre si.
Passo 4
Vamos analisar cada elemento de
e ver com quais outros ele está relacionado segundo
:
-
Elemento 1:
-
está relacionado com ele mesmo ( ). -
, então também está relacionado com .
-
-
Elemento 2:
-
está relacionado com ele mesmo ( ). -
, então também está relacionado com .
-
-
Elemento 3:
-
está relacionado apenas consigo mesmo ( ), pois não há outro elemento em que some 3 com ele para dar 3.
-
-
Elemento 4:
-
está relacionado apenas consigo mesmo ( ), pois não tem solução em .
-
Passo 5
Com base nisso, podemos formar as classes de equivalência:
- Classe de equivalência de 1:
- Classe de equivalência de 2:
(mesma que a de 1) - Classe de equivalência de 3:
- Classe de equivalência de 4:
Passo 6
Finalmente, a partição correspondente de
é o conjunto dessas classes de equivalência, sem repetir:
Resposta
A partição correspondente de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superficie
para o campo vetorial dado
e a superficie orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de
. Para superficies fechadas, use a orientaçăo (para o exterior) positiva.
9. ,
é a superficie do Problema 1 com orientação ascendente
9.
Mostre que
Em
considere a seguinte relação de Equivalência
Obter a partição de
.
Encontre as classes de equivalência e o conjunto quociente
determinados pela relação de congruência módulo 5 em
e responda:
a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Observando as respostas anteriores, complete a seguinte tabela de
a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Observando as respostas anteriores, complete a seguinte tabela de
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