Em A = {1, 2, 3, 4} consideremos a seguinte relação de Equivalência
R = {(x, y) em A^2 : x = y ou x + y = 3}
Determinar a correspondente partição de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e uma relação de equivalência definida por:
Nosso objetivo é determinar a partição correspondente de . Para isso, vamos usar conceitos de relações de equivalência e partições de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. É uma relação que satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simétrica: se está relacionado com , então está relacionado com .
  3. Transitiva: se está relacionado com e está relacionado com , então está relacionado com .
A relação dada é reflexiva porque todo elemento de está relacionado com ele mesmo ( ). Também é simétrica porque se , então . A transitividade pode ser verificada observando que não há contradições na relação dada.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de é uma divisão dos elementos de em subconjuntos não vazios, onde cada elemento de pertence a exatamente um subconjunto.
Para encontrar a partição correspondente à relação de equivalência , precisamos identificar as classes de equivalência, ou seja, grupos de elementos que estão relacionados entre si.

Passo 4

Vamos analisar cada elemento de e ver com quais outros ele está relacionado segundo :
  • Elemento 1:
    • está relacionado com ele mesmo ( ).
    • , então também está relacionado com .
  • Elemento 2:
    • está relacionado com ele mesmo ( ).
    • , então também está relacionado com .
  • Elemento 3:
    • está relacionado apenas consigo mesmo ( ), pois não há outro elemento em que some 3 com ele para dar 3.
  • Elemento 4:
    • está relacionado apenas consigo mesmo ( ), pois não tem solução em .

Passo 5

Com base nisso, podemos formar as classes de equivalência:
  • Classe de equivalência de 1:
  • Classe de equivalência de 2: (mesma que a de 1)
  • Classe de equivalência de 3:
  • Classe de equivalência de 4:

Passo 6

Finalmente, a partição correspondente de é o conjunto dessas classes de equivalência, sem repetir:

Resposta

A partição correspondente de é .

Exercícios relacionados