Calcule a integral de superficie
para o campo vetorial dado
e a superficie orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de
. Para superficies fechadas, use a orientaçăo (para o exterior) positiva.
9.
,
é a superficie do Problema 1 com orientação ascendente
9.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. O exercício pede para calcular a integral de superfície
, que na prática significa determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. O campo vetorial dado é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o fluxo de um campo vetorial e como aplicar o teorema da divergência, especialmente se a superfície for fechada.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber exatamente qual é a superfície
mencionada como “superfície do Problema 1”. Sem essa informação, não conseguimos determinar os limites de integração ou a orientação correta. A definição da superfície é essencial porque o fluxo depende da forma e dos limites de
.
Passo 3
Assumindo que
seja uma superfície fechada e orientada positivamente (para o exterior), podemos utilizar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
Onde
é a divergência do campo vetorial
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
:
Então, a integral de superfície se transforma na integral de volume de
sobre a região limitada por
.
Passo 5
Para prosseguir, precisamos conhecer a forma e os limites de
para calcular a integral de volume
. Sem essa informação, não conseguimos avançar com o cálculo específico.
Resposta
Para resolver completamente o exercício, precisamos saber a definição exata da superfície
. Por favor, forneça mais detalhes sobre
para que possamos calcular a integral de superfície corretamente.
Exercícios relacionados
Mostre que
Calcule a integral
em que
é a região do plano limitada pelo semicírculo
e o eixo
. Resp.:
.
Em
consideremos a seguinte relação de Equivalência
Determinar a correspondente partição de
.
Em
considere a seguinte relação de Equivalência
Obter a partição de
.