Calcule a integral
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha onde precisamos calcular
. A curva
está parametrizada por para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
. Além disso, vamos usar conceitos de cálculo integral para transformar essa integral de linha em uma integral mais simples que a gente consegue calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa parametrização da curva. A curva
está definida por . Isso significa que, para cada valor de
entre
e
, temos um ponto na curva com coordenadas
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. O
é dado pela magnitude da derivada da parametrização
multiplicada por
:
Vamos calcular
:
Agora, a magnitude de
é:
Podemos simplificar usando a identidade :
Mas para facilitar os cálculos, vamos deixar
como está:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral original em termos de
. A integral
se transforma em:
Substituindo
e
:
Então:
Vamos simplificar essa expressão:
E sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos observar a simetria da função. A função
é par (
) e é ímpar (). O produto é ímpar. Já a expressão é par, pois depende de e
.
Portanto, o integrando inteiro é ímpar multiplicado por par, o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre as classes de equivalência e o conjunto quociente
determinados pela relação de congruência módulo 5 em
e responda:
a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Observando as respostas anteriores, complete a seguinte tabela de
a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Observando as respostas anteriores, complete a seguinte tabela de
+ |
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|||||
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||||
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|
Em
considere a seguinte relação de Equivalência
Obter a partição de
.
Seja
Verifique se
é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial
tal que
.
Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: