Calcule a integral
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha onde precisamos calcular
. A curva
está parametrizada por para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
. Além disso, vamos usar conceitos de cálculo integral para transformar essa integral de linha em uma integral mais simples que a gente consegue calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa parametrização da curva. A curva
está definida por . Isso significa que, para cada valor de
entre
e
, temos um ponto na curva com coordenadas
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. O
é dado pela magnitude da derivada da parametrização
multiplicada por
:
Vamos calcular
:
Agora, a magnitude de
é:
Podemos simplificar usando a identidade :
Mas para facilitar os cálculos, vamos deixar
como está:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral original em termos de
. A integral
se transforma em:
Substituindo
e
:
Então:
Vamos simplificar essa expressão:
E sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos observar a simetria da função. A função
é par (
) e é ímpar (). O produto é ímpar. Já a expressão é par, pois depende de e
.
Portanto, o integrando inteiro é ímpar multiplicado por par, o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.