Calcule a integral
integralC z raiz2 x-x^2 d s
onde C: r(t)=(1-cos t, 2 sen t, cos t),|t| <= pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha onde precisamos calcular . A curva está parametrizada por para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco . Além disso, vamos usar conceitos de cálculo integral para transformar essa integral de linha em uma integral mais simples que a gente consegue calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa parametrização da curva. A curva está definida por . Isso significa que, para cada valor de entre e , temos um ponto na curva com coordenadas , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco ds = |r'(t)| , dt . O r'(t) = ( ddt(1 - cos t), ddt(2 sen t), ddt(cos t) ) = (sen t, 2 cos t, -sen t) é dado pela magnitude da derivada da parametrização |r'(t)| = raiz(sen t)^2 + (2 cos t)^2 + (-sen t)^2 = raizsen^2 t + 4 cos^2 t + sen^2 t = raiz2 sen^2 t + 4 cos^2 t multiplicada por |r'(t)| = raiz2 sen^2 t + 4 cos^2 t = raiz2 (sen^2 t + 2 cos^2 t) = raiz2 (1 + cos^2 t) :
|r'(t)| = raiz2 sen^2 t + 4 cos^2 t
Vamos calcular :
Agora, a magnitude de é:
Podemos simplificar usando a identidade :
Mas para facilitar os cálculos, vamos deixar como está:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral original em termos de integral-pi4^pi4 z(t) raiz2 x(t) - x(t)^2 cdot |r'(t)| , dt . A integral x(t) = 1 - cos t e z(t) = cos t se transforma em:
raiz2 x(t) - x(t)^2 = raiz2(1 - cos t) - (1 - cos t)^2
Substituindo 2(1 - cos t) - (1 - 2 cos t + cos^2 t) = 2 - 2 cos t - 1 + 2 cos t - cos^2 t = 1 - cos^2 t e raiz1 - cos^2 t = sen t :
integral-pi4^pi4 cos t cdot sen t cdot raiz2 sen^2 t + 4 cos^2 t , dt
Então:
Vamos simplificar essa expressão:
E sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos observar a simetria da função. A função é par ( ) e é ímpar (). O produto é ímpar. Já a expressão é par, pois depende de e .
Portanto, o integrando inteiro é ímpar multiplicado por par, o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.

Resposta

integralC z raiz2 x -x^2 , d s = 0

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