Calcule a integral
onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha onde precisamos calcular . A curva está parametrizada por para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco . Além disso, vamos usar conceitos de cálculo integral para transformar essa integral de linha em uma integral mais simples que a gente consegue calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa parametrização da curva. A curva está definida por . Isso significa que, para cada valor de entre e , temos um ponto na curva com coordenadas , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco . O é dado pela magnitude da derivada da parametrização multiplicada por :
Vamos calcular :
Agora, a magnitude de é:
Podemos simplificar usando a identidade :
Mas para facilitar os cálculos, vamos deixar como está:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral original em termos de . A integral se transforma em:
Substituindo e :
Então:
Vamos simplificar essa expressão:
E sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos observar a simetria da função. A função é par ( ) e é ímpar (). O produto é ímpar. Já a expressão é par, pois depende de e .
Portanto, o integrando inteiro é ímpar multiplicado por par, o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre as classes de equivalência e o conjunto quociente determinados pela relação de congruência módulo 5 em e responda:
a) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [2]?
b) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros, um da classe [2] e outro da classe [1]?
c) Em qual classe de equivalência está a soma de dois inteiros da classe [4]?
Observando as respostas anteriores, complete a seguinte tabela de
+
Em considere a seguinte relação de Equivalência
Obter a partição de .
Seja
Verifique se é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial tal que .
Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: