[1] é o cubo limitado pelos planos e .
[2] é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
[3] é a bola sólida
[4] é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e um sólido que é um cubo limitado pelos planos , , , , e . O conteúdo aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência, que ajuda a calcular fluxos em superfícies fechadas. Vamos precisar calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume do cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de , denotada por , mede a taxa de “expansão” do campo em cada ponto. Para um campo , a divergência é calculada assim:
Vamos aplicar isso ao nosso campo.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo de através da superfície fechada que delimita o volume é igual à integral tripla da divergência de sobre :
Então, precisamos calcular:
Passo 5
Como é um cubo onde , os limites de integração para , e são todos de 0 a 1. Vamos integrar primeiro em , depois em , e por último em :
A integral em de de 0 a 1 é:
Agora, integraremos em :
Por fim, integraremos em :
Resposta
O fluxo de através da superfície do cubo é igual a .