Calcule integral 6 xx^2-4 x-5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração 6x(x - 5)(x + 1) = Ax - 5 + Bx + 1 como uma soma de frações mais simples, usando a decomposição em frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 6x = A(x + 1) + B(x - 5) e 6x = A x + A + B x - 5B , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 6x = (A + B)x + (A - 5B) :
Agora, distribuímos os e :
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com A + B = 6 :
A - 5B = 0
Para os termos constantes:
A + B = 6 A - 5B = 0
Temos então um sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, podemos expressar A = 5B em termos de 5B + B = 6 6B = 6 B = 1 :
A = 5 times 1 = 5
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 7

Agora que encontramos 6x(x - 5)(x + 1) = 5x - 5 + 1x + 1 e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x - 5 , dx + integral 1x + 1 , dx
Sabemos que a integral de 5 ln|x - 5| + ln|x + 1| + C é , então:

Resposta

A integral 5 ln|x - 5| + ln|x + 1| + C é igual a:

Exercícios relacionados