Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração
como uma soma de frações mais simples, usando a decomposição em frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, distribuímos os
e
:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Temos então um sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Use as substituições trigonométricas para calcular:
Calcule
[1]
é o cubo limitado pelos planos
e
.
[2]
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
[3]
é a bola sólida
[4]
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
[2]
[3]
[4]