Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples, usando a decomposição em frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, distribuímos os e :
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com :
Para os termos constantes:
Temos então um sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 7

Agora que encontramos e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de é , então:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Use as substituições trigonométricas para calcular:
Calcule
[1]
é o cubo limitado pelos planos e .
[2]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
[3]
é a bola sólida
[4]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .