Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método ajuda a simplificar expressões racionais decompondo-as em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e, em seguida, decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Agora, vamos fatorar mais o polinômio :
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos supor:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador para eliminar as frações, temos:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes para encontrar os valores de , , , e .

Passo 4

Após expandir e igualar os coeficientes dos termos correspondentes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
Substituindo esses valores na decomposição das frações parciais, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para o último termo, podemos usar substituição , então :
E:

Resposta

Somando todas as integrais, a solução é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
[1]
é o cubo limitado pelos planos e .
[2]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
[3]
é a bola sólida
[4]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Sejam e duas funções contínuas nos intervalos e , respectivamente. Mostre que:
onde é o retângulo: e . Use o item a) para calcular a integral:
onde é o retângulo: .