Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 2 x^2-x+2x^5+2 x^3+x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método ajuda a simplificar expressões racionais decompondo-as em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e, em seguida, decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^5 + 2x^3 + x = x(x^4 + 2x^2 + 1) . Podemos colocar x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 em evidência:
x(x^2 + 1)^2
Agora, vamos fatorar mais o polinômio :
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos supor:
2x^2 - x + 2x(x^2 + 1)^2 = Ax + Bx + Cx^2 + 1 + Dx + E(x^2 + 1)^2
Multiplicando ambos os lados pelo denominador 2x^2 - x + 2 = A(x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x(x^2 + 1) + (Dx + E)x para eliminar as frações, temos:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes para encontrar os valores de , , , e .

Passo 4

Após expandir e igualar os coeficientes dos termos correspondentes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
A = 2, B = -2, C = 0, D = 2, E = -1
Substituindo esses valores na decomposição das frações parciais, temos:
2x^2 - x + 2x(x^2 + 1)^2 = 2x + -2xx^2 + 1 + 2x - 1(x^2 + 1)^2

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx = 2 ln|x|
integral -2xx^2 + 1 , dx = -ln|x^2 + 1|
integral 2x - 1(x^2 + 1)^2 , dx
Para o último termo, podemos usar substituição integral 2x(x^2 + 1)^2 , dx = -1x^2 + 1 , então integral -1(x^2 + 1)^2 , dx = -x2(x^2 + 1) - 12 arctan(x) :
E:

Resposta

Somando todas as integrais, a solução é:
2 ln|x| - ln|x^2 + 1| - 1x^2 + 1 - x2(x^2 + 1) - 12 arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

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