Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método das frações parciais. Esse método ajuda a simplificar expressões racionais decompondo-as em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e, em seguida, decompor a fração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos colocar
em evidência:
Agora, vamos fatorar mais o polinômio
:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos supor:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador
para eliminar as frações, temos:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes para encontrar os valores de
,
,
,
e
.
Passo 4
Após expandir e igualar os coeficientes dos termos correspondentes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
Substituindo esses valores na decomposição das frações parciais, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para o último termo, podemos usar substituição
, então
:
E:
Resposta
Somando todas as integrais, a solução é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
[1]
é o cubo limitado pelos planos
e
.
[2]
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
[3]
é a bola sólida
[4]
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
[2]
[3]
[4]
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Sejam
e
duas funções contínuas nos intervalos
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o retângulo:
e
. Use o item a) para calcular a integral:
onde
é o retângulo:
.