Calcule integral 14-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 14-x^2 , dx. Esse exercício está na área do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a decompor a função em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 4 - x^2. Sabemos que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), então podemos escrever:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)

Passo 3

Agora, vamos expressar 14 - x^2 como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(2 - x)(2 + x) = A2 - x + B2 + x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (2 - x)(2 + x) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(2 + x) + B(2 - x)
Expandindo os termos:
1 = 2A + A x + 2B - B x
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (2A + 2B) + (A - B)x

Passo 5

Para que as equações sejam iguais para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
2A + 2B = 1 A - B = 0
Da segunda equação, A = B. Substituindo na primeira:
2A + 2A = 1 4A = 1 A = 14
Então, B = 14 também.

Passo 6

Substituindo A e B de volta nas frações parciais:
14 - x^2 = 1/42 - x + 1/42 + x

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 14 - x^2 , dx = 14 integral 12 - x , dx + 14 integral 12 + x , dx
As integrais de 1a - x e 1a + x são conhecidas:
integral 1a - x , dx = -ln|a - x| + C integral 1a + x , dx = ln|a + x| + C

Passo 8

Aplicando essas fórmulas:
14 ( -ln|2 - x| + ln|2 + x| ) + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
14 ln| 2 + x2 - x | + C

Resposta

A integral de 14 - x^2 em relação a x é:
integral 14 - x^2 , dx = 14 ln| 2 + x2 - x | + C

Exercícios relacionados