Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a decompor a função em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos expressar como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que as equações sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, também.

Passo 6

Substituindo e de volta nas frações parciais:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
As integrais de e são conhecidas:

Passo 8

Aplicando essas fórmulas:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule
[1]
é o cubo limitado pelos planos e .
[2]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
[3]
é a bola sólida
[4]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: