Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é usado para decompor frações racionais, ou seja, razões de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então expressar a fração original como a soma de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para fatorar um polinômio cúbico, podemos tentar encontrar suas raízes usando o método das tentativas. Testando, vemos que é uma raiz, porque substituindo:
Então, é um fator. Agora, realizando a divisão polinomial ou usando a fatoração, temos:
Agora, fatoramos o polinômio de segundo grau:
Portanto, a fatoração completa do denominador é:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, ficamos com:
Agora, expandimos os termos à direita:
Distribuindo , e :
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema.
Passo 6
Podemos resolver o sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(5A + 4B + 3C) - (A + B + C) = 7 - 3 4A + 3B + 2C = 4 (Equação 4) çã
Em seguida, subtraímos a primeira equação da terceira:
(6A + 3B + 2C) - (A + B + C) = 0 - 3 5A + 2B + C = -3 (Equação 5) çã
Agora, temos:
4A + 3B + 2C = 4 5A + 2B + C = -3
Passo 7
Vamos eliminar uma variável. Multiplicamos a Equação 5 por 2: