Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral0^1 3 x^2+7 xx^3+6 x^2+11 x+6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é usado para decompor frações racionais, ou seja, razões de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então expressar a fração original como a soma de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 . Para fatorar um polinômio cúbico, podemos tentar encontrar suas raízes usando o método das tentativas. Testando, vemos que x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6) é uma raiz, porque substituindo:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Então, x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) é um fator. Agora, realizando a divisão polinomial ou usando a fatoração, temos:
Agora, fatoramos o polinômio de segundo grau:
Portanto, a fatoração completa do denominador é:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
3x^2 + 7x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = Ax + 1 + Bx + 2 + Cx + 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 3x^2 + 7x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2) para eliminar os denominadores, ficamos com:
3x^2 + 7x = A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 4x + 3) + C(x^2 + 3x + 2)
Agora, expandimos os termos à direita:
3x^2 + 7x = (A + B + C)x^2 + (5A + 4B + 3C)x + (6A + 3B + 2C)
Distribuindo , e :

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B + C = 3 5A + 4B + 3C = 7 6A + 3B + 2C = 0
Temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Podemos resolver o sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(5A + 4B + 3C) - (A + B + C) = 7 - 3 4A + 3B + 2C = 4 (Equação 4) çã
Em seguida, subtraímos a primeira equação da terceira:
(6A + 3B + 2C) - (A + B + C) = 0 - 3 5A + 2B + C = -3 (Equação 5) çã
Agora, temos:
4A + 3B + 2C = 4 5A + 2B + C = -3

Passo 7

Vamos eliminar uma variável. Multiplicamos a Equação 5 por 2:
10A + 4B + 2C = -6 (Equação 6) çã
Agora, subtraímos a Equação 4 da Equação 6:
(10A + 4B + 2C) - (4A + 3B + 2C) = -6 - 4 6A + B = -10 (Equação 7) çã
Temos agora dois sistemas:
A + B + C = 3 6A + B = -10

Passo 8

Vamos resolver a Equação 7 para 6A + B = -10 B = -10 - 6A :
A + (-10 - 6A) + C = 3 -5A -10 + C = 3 -5A + C = 13 (Equação 8)
Substituímos -5A + C = 13 5A + 2B + C = -3 na primeira equação:
5A + 2(-10 - 6A) + C = -3 5A - 20 - 12A + C = -3 -7A -20 + C = -3 -7A + C = 17 (Equação 9) çã
Agora, temos:
Substituímos na segunda equação:
çã

Passo 9

Agora, temos as Equações 8 e 9:
-5A + C = 13 (Equação 8) -7A + C = 17 (Equação 9) çãçã
Subtraindo a Equação 8 da Equação 9:
(-7A + C) - (-5A + C) = 17 - 13 -2A = 4 A = -2
Agora, substituímos -5(-2) + C = 13 10 + C = 13 C = 3 na Equação 8:
B = -10 - 6(-2) B = -10 + 12 B = 2
E substituímos na expressão para :

Passo 10

Agora que encontramos 3x^2 + 7x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = -2x + 1 + 2x + 2 + 3x + 3 , e , podemos escrever a fração original como:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 11

A integral torna-se:
integral0^1 ( -2x + 1 + 2x + 2 + 3x + 3 ) , dx
Podemos separar em três integrais:
-2 integral0^1 1x + 1 , dx + 2 integral0^1 1x + 2 , dx + 3 integral0^1 1x + 3 , dx

Passo 12

Agora, calculamos cada integral individualmente. A integral de -2 [ ln|x + 1| ]0^1 + 2 [ ln|x + 2| ]0^1 + 3 [ ln|x + 3| ]0^1 é -2 (ln 2 - ln 1) + 2 (ln 3 - ln 2) + 3 (ln 4 - ln 3) . Então:
-2 ln 2 + 2 ln 3 - 2 ln 2 + 3 ln 4 - 3 ln 3
Calculando nos limites de 0 a 1:
(-2 ln 2 - 2 ln 2) + (2 ln 3 - 3 ln 3) + 3 ln 4 = -4 ln 2 - ln 3 + 3 ln 4
Sabemos que , então simplificamos:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 13

Podemos simplificar mais usando propriedades dos logaritmos:
-4 ln 2 - ln 3 + 3 ln 4 = -4 ln 2 - ln 3 + 3 ln (2^2) = -4 ln 2 - ln 3 + 6 ln 2
Simplificando:
( -4 ln 2 + 6 ln 2 ) - ln 3 = 2 ln 2 - ln 3

Resposta

A integral é igual a .

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