Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é usado para decompor frações racionais, ou seja, razões de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então expressar a fração original como a soma de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para fatorar um polinômio cúbico, podemos tentar encontrar suas raízes usando o método das tentativas. Testando, vemos que é uma raiz, porque substituindo:
Então, é um fator. Agora, realizando a divisão polinomial ou usando a fatoração, temos:
Agora, fatoramos o polinômio de segundo grau:
Portanto, a fatoração completa do denominador é:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, ficamos com:
Agora, expandimos os termos à direita:
Distribuindo , e :

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Podemos resolver o sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
çã
Em seguida, subtraímos a primeira equação da terceira:
çã
Agora, temos:

Passo 7

Vamos eliminar uma variável. Multiplicamos a Equação 5 por 2:
çã
Agora, subtraímos a Equação 4 da Equação 6:
çã
Temos agora dois sistemas:

Passo 8

Vamos resolver a Equação 7 para :
Substituímos na primeira equação:
çã
Agora, temos:
Substituímos na segunda equação:
çã

Passo 9

Agora, temos as Equações 8 e 9:
çãçã
Subtraindo a Equação 8 da Equação 9:
Agora, substituímos na Equação 8:
E substituímos na expressão para :

Passo 10

Agora que encontramos , e , podemos escrever a fração original como:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 11

A integral torna-se:
Podemos separar em três integrais:

Passo 12

Agora, calculamos cada integral individualmente. A integral de é . Então:
Calculando nos limites de 0 a 1:
Sabemos que , então simplificamos:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 13

Podemos simplificar mais usando propriedades dos logaritmos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

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[1]
é o cubo limitado pelos planos e .
[2]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
[3]
é a bola sólida
[4]
é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Calcule
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: